Sujet du BAC C 2005 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 5 points

1. 1

   a) Construire les points $G_1$ et $G_2$.
   b) Démontrer que l'ensemble (Γ) des points M du plan tels que $M{A}^2-9M{B}^2=0$ est le cercle de diamètre $[G_1{G}_2]$.
   c) Construire l'ensemble (E) des points M du plan tels que $\text{Mes}\left(\widehat{\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}}\right)=\frac{\pi }{3}$.

2. 2

   Soit C l'image du point B par la rotation de centre A et d'angle $\frac{2\pi }{3}$ ;
   D l'image du point B par l'homothétie de centre A et de rapport $\frac{2}{3}$ ;
   S la similitude directe qui applique A sur B et C sur D.
   a) Construire les points C et D.
   b) Calculer le rapport de S.
   c) Justifier qu'une mesure de l'angle de S est $\frac{\pi }{3}$.

3. 3

   On note Ω le centre de S.
   a) Démontrer que Ω appartient à (Γ) et à (E). Placer Ω.
   b) Démontrer que $\text{Mes}\left(\widehat{\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}}\right)=\frac{-2\pi }{3}$.
   c) En déduire que les points A, C, D et Ω appartiennent à un même cercle $(\mathcal{C})$.
   Construire $(\mathcal{C})$.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 3 points

1. 1

   Le tireur effectue cinq tirs successifs. Calculer la probabilité pour qu'il touche sa cible :
   a) cinq fois ?
   b) exactement deux fois ?
   c) au moins une fois ?

2. 2

   Il tire n fois de suite ($n\ge 1$). Démontrer que la probabilité pour qu'il touche la cible au moins une fois est égale à $1-(0,3{)}^n$.

3. 3

   Combien faut-il de tirs au minimum pour que la cible soit touchée au moins une fois avec une probabilité supérieure ou égale à 0,995 ?

Exercice 3 · PROBLÈME · 12 points

1. I.1

   Partie I : Etude de f

   Soit ψ la fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ et définie par : $\psi (x)=1+x{e}^x$.
   a) Etudier les variations de ψ puis dresser son tableau de variation. (On ne demande pas de calculer les limites).
   b) Démontrer que pour tout nombre réel x, $\psi (x)>0$.
   c) En déduire l'ensemble de définition de f.

2. I.2

   Soit φ la fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ et définie par : $\phi (x)=1-x^2{e}^x$.
   a) Calculer les limites de φ en $-\infty$ et en $+\infty$.
   b) Etudier les variations de φ puis dresser son tableau de variation.
   c) Démontrer que l'équation $\phi (x)=0$ admet une solution unique α comprise entre 0,7 et 0,71.
   d) En déduire que :

   • $\forall x\in \left]-\infty ;\alpha \right[,\phi (x)>0$ ;
   • $\forall x\in \left]\alpha ;+\infty \right[,\phi (x)<0$.

3. I.3

   On admet que f est dérivable sur $\mathbb{R}$.
   a) Démontrer que : $\forall x\in \mathbb{R}$ , $f^{\prime }(x)=\frac{\phi (x)}{(1+x{e}^x{)}^2}$.
   b) Calculer les limites de f en $-\infty$ et en $+\infty$.
   c) Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variation.

4. I.4

   Soit (D) la droite d'équation $y=x$.
   a) Démontrer que (D) est asymptote à $(\mathcal{C})$ en $-\infty$.
   b) Etudier la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à (D). (On pourra utiliser la question I.1.b).
   c) Démontrer que la droite (D) est tangente à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse 0.
   d) Tracer (D) et $(\mathcal{C})$ dans la fenêtre définie par :

   $X_{min}=-4,5$ ; $X_{max}=4$
   $Y_{min}=-5$ ; $Y_{max}=0,4$.

   On prendra : OI = 2cm ; OJ = 5cm et α = 0,7.

5. II.1

   Partie II : Etude d'une suite

   Pour tout entier naturel n, on pose : $I_n={\int }_0^1\frac{t^n}{1+t{e}^t}dt$.
   a) Sans calculer $I_1$, en donner une interprétation graphique.
   b) Démontrer que la suite $(I_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est décroissante.
   c) Démontrer que la suite $(I_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge.

6. II.2

   a) Démontrer que :

   $\forall t\in [0;1]$ , $\frac{1}{1+e}\le \frac{1}{1+t{e}^t}\le 1$.

   (On pourra utiliser les variations de ψ sur [0 ;1]).

   b) En déduire que pour tout entier naturel n, $\frac{1}{(1+e)(n+1)}\le I_n\le \frac{1}{(n+1)}$.
   c) Déterminer la limite de $(I_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$.