Sujet du BAC A1 2022 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 2 points

1. 1. 1. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}$ est égale à …

      1. A$+\infty$.
      2. B
      3. C$-\infty$.

   2. 2. Pour tout nombre réel $x$, le nombre $e^x$ est …

      1. Anul.
      2. Bstrictement négatif.
      3. Cstrictement positif.

   3. 3. Si E et F sont deux évènements incompatibles d'un univers $\Omega$, alors $P(E\cup F)$ est égale à …

      1. AP(E) − P(F).
      2. BP(E) + P(F).
      3. CP(E) × P(F).

   4. 4. La dérivée de la fonction $x\mapsto a{x}^n$, où $a\ne 0$ et $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ est la fonction …

      1. A$x\mapsto a{x}^{n-1}$.
      2. B$x\mapsto nax$.
      3. C$x\mapsto na{x}^{n-1}$.

   5. 5. La somme $v_0+v_1+\cdots +v_{n-1}$ des $n$ premiers termes d'une suite arithmétique de raison $r$ ($r\ne 0$) est égale à …

      1. A$\frac{n(v_0+v_n)}{2}$
      2. B$\frac{n(v_0+v_{n-1})}{2}$
      3. C$\frac{r(v_0+v_{n-1})}{2}$

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 2 points

1. 1. 1. L'équation (E) : $x\in \mathbb{R}$, $2e^{2x}-3e^x+1=0$ admet pour ensemble de solutions $\{1;3\}$.

   2. 2. La dérivée de la fonction $x\mapsto 2x-1-\ln x$ sur $]0;+\infty [$ est la fonction $x\mapsto 2+\frac{1}{x}$.

   3. 3. La droite d'ajustement d'un nuage de points passe par le point moyen.

   4. 4. Le système d'équations $(x,y)\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }\times {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, $\{\begin{array}{l}\ln (x)+3\ln (y)=9\\ 2\ln (x)-\ln (y)=4\end{array}$ admet pour ensemble de solutions $\{(e^3;e^2)\}$.

Exercice 3 · 5 points

1. 1

   Justifie qu'il y a 120 tirages possibles.

2. 2

   Détermine la probabilité de l'évènement A « tirer exactement deux boîtes vertes ».

3. 3

   Justifie que la probabilité de l'évènement B « ne tirer aucune boîte verte » est égale à $\frac{7}{24}$.

4. 4

   On associe à ce tirage simultané le jeu suivant :
   Le joueur mise la somme de 200 F avant le tirage.
   Après le tirage :

   - s'il y a exactement une boîte verte, il gagne 100 F.
   - s'il y a exactement deux boîtes vertes, il gagne 200 F.
   - s'il y a exactement trois boîtes vertes, il gagne 500 F.
   - s'il n'y a aucune boîte verte, il ne gagne rien.

   Soit X la variable aléatoire qui associe à chaque tirage, le gain algébrique issu du tirage.
   (Gain algébrique = gain − mise).
   a) Justifie que les valeurs prises par X sont : −200 ; −100 ; 0 et 300.
   b) Détermine la loi de probabilité de X.
   c) Justifie que l'espérance mathématique de X est égale à $-\frac{325}{3}$.

Exercice 4 · 6 points

1. 1

   a) Justifie que : $\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x<3\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty$.
   b) Donne une interprétation graphique du résultat précédent.

2. 2

   Justifie que : $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$.

3. 3

   On admet que $f$ est dérivable sur $]-\infty ;3[$ et on note $f^{\prime }$ sa fonction dérivée.
   a) Justifie que pour tout $x$ élément de $]-\infty ;3[$, $f^{\prime }(x)=\frac{x(x-6)}{(x-3{)}^2}$.
   b) Étudie le signe de $f^{\prime }(x)$ suivant les valeurs de $x$.
   c) Dresse le tableau de variations de $f$.

4. 4

   Démontre que la droite (D) d'équation $y=x$ est une asymptote oblique à (C) en $-\infty$.

5. 5

   On donne le tableau de valeurs ci-dessous.

   $x$	−5	−4	−3	−2	0	1	2	3
   $f(x)$	−6,1	−5,3	−4,5	−3,8	−3	−3,5	−7

   Représente (C) et ses asymptotes sur l'intervalle $[-5;3[$.

6. 6

   a) Justifie qu'une primitive de la fonction $x\mapsto \frac{-9}{x-3}$ sur $]-\infty ;3[$ est la fonction G définie par :
   $G(x)=-9\ln (3-x)$.
   b) Sachant que la courbe (C) est en dessous de la droite (D), calcule l'aire A en cm² de la partie du plan limitée par (C), (D) et les droites d'équations : $x=-2$ et $x=0$.

Exercice 5 · 5 points

1. Situation

   A l'aide d'une production argumentée basée sur tes connaissances mathématiques, dis si l'élève pourra bénéficier de l'aide de son père pour acheter l'ordinateur ou non.