Sujet du BAC A1 2020 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 4 points

1. 1

   Vérifie que $-\frac{5}{2}$ et 4 sont les solutions de l'équation : $x\in \mathbb{R}$, $2x^2-3x-20=0$.

2. 2

   On considère l'équation (E) : $x\in \mathbb{R}$, $2e^{2x}-3e^x-20=0$.
   Résous (E).

3. 3

   On considère l'équation (F) : $x\in \mathbb{R}$, $2(\ln x{)}^2-3\ln x-20=0$.
   Résous (F).

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 7 points

1. 1

   Justifie que Koffi a 560 possibilités de choisir trois tablettes.

2. 2

   Calcule la probabilité de chacun des événements suivants :

   A : « Koffi tire trois tablettes de chocolat de même type ».
   B : « Koffi ne tire aucune tablette de chocolat gris ».

3. 3

   Soit l'évènement C : « Il y a exactement une tablette de chocolat gris parmi les trois tablettes tirées par Koffi ».
   Justifie que la probabilité de C est égale à $\frac{117}{280}$.

4. 4

   Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage simultané de trois tablettes fait correspondre le nombre de tablettes de chocolat gris.
   a) Justifie que l'ensemble des valeurs prises par X est égal à $\{0;1;2;3\}$.
   b) Détermine la loi de probabilité de X.
   c) Calcule la probabilité pour que le jeune Koffi tire au moins une tablette de chocolat gris.

Exercice 3 · 9 points

1. 1

   a) Calcule $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.
   b) Calcule $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }f(x)$.
   Interprète graphiquement le résultat obtenu.

2. 2

   On suppose que $f$ est dérivable sur l'intervalle $]1;+\infty [$.
   a) Démontre que pour tout élément $x$ de l'intervalle $]1;+\infty [$, $f^{\prime }(x)=\frac{x^2-2x+7}{(x-1{)}^2}$.
   b) Justifie que pour tout élément $x$ de l'intervalle $]1;+\infty [$, $f^{\prime }(x)>0$.
   c) Déduis-en le sens de variation de $f$ puis dresse son tableau de variation.

3. 3

   a) Justifie que pour tout élément $x$ de l'intervalle $]1;+\infty [$, $f(x)=x-\frac{6}{x-1}$.
   b) Démontre que la droite (Δ) d'équation $y=x$ est une asymptote à la courbe (ζ) en $+\infty$.
   c) Justifie que la courbe (ζ) est en dessous de la droite (Δ) sur $]1;+\infty [$.

4. 4

   a) Calcule $f(3)$.
   b) Détermine une équation de la tangente $(\mathcal{T})$ à (ζ) au point d'abscisse 3.
   c) Représente dans le repère (O, I, J), la droite (Δ), la tangente $(\mathcal{T})$ et la courbe (ζ).

5. 5

   On considère (H), la partie du plan limitée par la courbe (ζ), la droite (Δ), l'axe (OI) et les droites d'équations $x=3$ et $x=6$.
   Calcule, en cm², l'aire de (H).