Sujet du BAC A1 2019 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 4 points

1. 1

   a) Justifie que le bénéfice de la deuxième année d'exercice (2017) est égal à 2 200 000 F CFA.
   b) Calcule $b_3$, bénéfice en 2018.

2. 2

   On admet que pour tout entier naturel non nul $n$, $b_{n+1}=(1,1)\times b_n$.
   a) Déduis-en que $(b_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
   b) Exprime $b_n$ en fonction de $n$.

3. 3

   a) Détermine le plus petit entier naturel $n$ pour lequel $b_n$ est supérieur ou égal à 3 000 000 FCFA.
   b) Déduis-en l'année en laquelle le bénéfice permettra à la coopérative d'acquérir son unité de production.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. 1

   Justifie que le nombre de tirages possibles est 35.

2. 2

   a) On considère l'évènement A : « Tirer autant de boules blanches que de boules noires ».
   Justifie que la probabilité de l'évènement A est égale à $\frac{18}{35}$.
   b) Calcule la probabilité de l'évènement B : « Tirer au moins deux boules noires ».
   c) Calcule la probabilité de l'évènement C : « Tirer des boules de même couleur ».

3. 3

   On associe ce tirage au jeu suivant :
   Le joueur mise la somme de 100 francs avant le tirage.
   Après le tirage, le joueur :

   - perd sa mise s'il a tiré plus de boules noires que de boules blanches ;
   - reçoit le double de sa mise s'il a tiré trois boules blanches et une boule noire ;
   - reçoit sa mise pour les autres tirages.
   Soit X la variable aléatoire qui associe à chaque tirage, le gain algébrique issu du tirage (différence entre le gain et la mise).

   a) Justifie que les valeurs prises par X sont : − 100 ; 0 et 100.
   b) Détermine la loi de probabilité de X.
   c) Calcule l'espérance mathématique de X.
   d) Donne une interprétation de l'espérance mathématique de X trouvée.

Exercice 3 · 11 points

1. 1

   a) Justifie que : $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty$.
   b) Interprète graphiquement le résultat de la question 1-a).

2. 2

   On admet que pour tout élément $x$ de l'intervalle $]0;+\infty [$, $f(x)=x\left(-2+\frac{2}{x}+\frac{\ln x}{x}\right)$.
   Justifie que : $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty$.

3. 3

   On suppose que $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0;+\infty [$.
   a) Démontre que pour tout élément $x$ de l'intervalle $]0;+\infty [$, $f^{\prime }(x)=\frac{-2x+1}{x}$.
   b) Vérifie que : $f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=0$.
   c) Justifie que :

   * si $x\in \left]0;\frac{1}{2}\right[$ alors $f^{\prime }(x)>0$ ;
   * si $x\in \left]\frac{1}{2};+\infty \right[$ alors $f^{\prime }(x)<0$.

   d) Déduis-en les variations de $f$.
   e) Dresse le tableau de variations de $f$.

4. 4

   a) Vérifie que : $f(1)=0$ et $f\left(\frac{1}{2}\right)>0$.
   b) Justifie que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $]0,2;0,3[$.

5. 5

   Justifie que la droite (T) d'équation $y=-x+1$ est la tangente à (C) au point d'abscisse 1.

6. 6

   a) Recopie et complète le tableau ci-dessous.

   $x$	0,1	0,25	0,5	1	1,5	2	3	4
   Arrondi d'ordre 1 de $f(x)$				0			−2,9	−4,6

   b) Trace la droite (T) puis la courbe (C) sur l'intervalle $]0;4]$.

7. 7

   a) Justifie que : $\ln \alpha =2\alpha -2$.
   b) Justifie que la fonction F, dérivable sur $]0;+\infty [$ et définie par : $F(x)=-x^2+x+x\ln x$ est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty [$.
   c) On note $A(\alpha )$ l'aire en cm² de la partie du plan délimitée par la courbe (C), la droite (OI) et les droites d'équations : $x=\alpha$ et $x=1$. Exprime $A(\alpha )$ en fonction de $\alpha$.