Sujet du BAC A1 2018 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 3 points

1. 1

   Vérifie que : $10^3\times (-10^{-3})=-1$ et $10^3-10^{-3}=999,999$.

2. 2

   Justifie que : $(x+10^3)(x-10^{-3})=x^2+999,999x-1$.

3. 3

   Déduis de la question 2 que $-10^3$ et $10^{-3}$ sont les solutions dans $\mathbb{R}$ de l'équation :
   $x^2+999,999x-1=0$.

4. 4

   Résous dans $\mathbb{R}$, l'équation : $e^{2x}+999,999e^x-1=0$.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 6 points

1. 1

   Démontre qu'il y a 364 façons de composer ce groupe de trois (3) élèves.

2. 2

   On note A l'évènement : « Aucun élève du groupe choisi n'est complice ». Justifie que la probabilité de A est égale à $\frac{42}{182}$.

3. 3

   On note B l'évènement : « Parmi les élèves du groupe choisi figurent exactement deux complices ». Calcule la probabilité de B.

4. 4

   On note C l'évènement : « Au moins un élève du groupe choisi est complice ». Calcule la probabilité de C.

5. 5

   On note D l'évènement : « Tous les élèves du groupe choisi sont complices ». Démontre que la probabilité de D est égale à $\frac{5}{182}$.

6. 6

   On note E l'évènement : « Aucun élève du groupe choisi n'est complice ou bien ils sont tous complices ». Calcule la probabilité de E.

7. 7

   On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de complices figurant dans le groupe choisi.
   On admet que les valeurs prises par X sont 0 ; 1 ; 2 et 3.
   a) Établis la loi de probabilité de X.
   (On présentera les résultats dans un tableau.)
   b) Détermine l'espérance mathématique de X.

Exercice 3 · 11 points

1. A.1

   Partie A
   a) Calcule $f(1)$
   b) Calcule $f(4,50)$ et $f(4,51)$ et donne les résultats arrondis à l'ordre 3.

2. A.2

   a) Justifie que : $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty$.
   b) Donne une interprétation graphique du résultat obtenu.

3. A.3

   On admettra que pour tout nombre réel strictement positif, $f(x)=x\left(-1+\frac{3}{x}+\frac{\ln (x)}{x}\right)$.
   Calcule : $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.

4. B.1

   Partie B
   On admet que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty [$.
   Vérifie que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, $f^{\prime }(x)=\frac{-x+1}{x}$.

5. B.2

   a) Étudie les variations de $f$.
   b) Dresse le tableau de variations de $f$.

6. B.3

   Détermine une équation de (T).

7. B.4

   Justifie que l'équation $f(x)=0$, admet une solution unique dans l'intervalle $]4,50;4,51[$.
   On admet que l'équation $f(x)=0$, admet une autre solution dans l'intervalle $]0,05;0,06[$.

8. B.5

   Construis la droite (T) et la Courbe (C) dans le repère orthonormé (O, I, J).

9. C.1

   Partie C
   On considère la fonction F définie sur $]0;+\infty [$, par : $F(x)=-\frac{x^2}{2}+2x+x\ln (x)$.
   Justifie que F est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty [$.

10. C.2

    Calcule en cm², l'aire de la partie du plan limitée par la courbe (C), la droite (OI) et les droites d'équations $x=1$ et $x=\frac{9}{2}$. Donne le résultat arrondi à l'ordre 2.