Sujet du BAC A1 2014 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 5 points

1. 1

   Représenter graphiquement le nuage de points de coordonnées $(x;y)$ dans le plan muni d'un repère orthonormé (Unité : 1 cm).

2. 2

   Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage de points.

3. 3

   On considère la série statistique à deux variables $(x;y)$.
   a) Vérifier que la covariance de la série $(x;y)$ est égale à $\frac{57}{4}$.
   b) Calculer la variance de la série $(x)$ et de celle de la série $(y)$.
   c) En déduire que l'arrondi d'ordre 2 du coefficient de corrélation linéaire entre les séries $(x)$ et $(y)$ est égal à 0,98. Interpréter ce résultat.

4. 4

   Démontrer qu'une équation de la droite d'ajustement linéaire de $(y)$ en $(x)$ obtenue par la méthode des moindres carrés est : $y=\frac{19}{22}x-\frac{17}{44}$.

5. 5

   À partir de l'ajustement linéaire ainsi réalisé, déterminer la note estimée en philosophie d'un candidat qui aurait obtenu 15 sur 20 en français.
   (le résultat sera arrondi à l'entier près)

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 4 points

1. 1

   Calculer la somme cotisée par la promotion Terminale la première semaine.

2. 2

   Justifier que la somme cotisée par la promotion Terminale la deuxième semaine est égale à 3 000 francs.

3. 3

   On désigne par $U_n$, où $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, la somme cotisée par la promotion Terminale la nième semaine.
   a) Justifier que : $U_{n+1}=U_n+500$.
   b) En déduire la nature de la suite $(U_n{)}_{n\ge 1}$.

4. 4

   Justifier que : $U_n=2000+500n$.

5. 5

   Justifier que la somme cotisée par la promotion la 30${}^{\text{eˋme}}$ semaine est égale à 17 000 francs.

6. 6

   Le parrain s'engage à accorder une aide financière à la promotion à condition que la somme totale cotisée au bout de 30 semaines atteigne au moins les 25% du budget.
   La promotion peut-elle satisfaire la condition posée par le parrain ?

Exercice 3 · PROBLÈME · 11 points

1. A.1

   Partie A
   On considère la fonction g définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=(2x-1)e^x$.
   Etudier le signe de $2x-1$ suivant les valeurs de $x$.

2. A.2

   En déduire que :
   - Pour tout $x\in \left]-\infty ;\frac{1}{2}\right[$, $g(x)<0$ ;
   - Pour tout $x\in \left]\frac{1}{2};+\infty \right[$, $g(x)>0$.

3. B.1

   Partie B
   Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(2x-3)e^x$ et $(\mathcal{C})$ sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J) (Unité : 2 cm).
   Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.

4. B.2

   a) Vérifier que pour tout nombre réel $x$, $f^{\prime }(x)=g(x)$.
   b) En déduire les variations de la fonction $f$.
   c) Dresser le tableau de variation de $f$.

5. B.3

   Déterminer une équation de la tangente (T) à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $x=0$.

6. B.4

   La courbe $(\mathcal{C})$ coupe l'axe (OI) en un point K. Calculer les coordonnées du point K.

7. B.5

   Recopier puis compléter le tableau de valeurs suivant :

   $x$	−5	−4	−3	−2,5	−2	−1,5	−1	−0,5	0	0,5	1	1,5	2
   $f(x)$	−0,09	−0,20	−0,45		−0,95	−1,34		−2,43	−3	−3,30			7,39

   (Les résultats sont donnés au centième-près).

8. B.6

   Sur la feuille annexe, deux droites sont tracées et plusieurs points de $(\mathcal{C})$ sont marqués.
   Feuille annexe :

   a) Reconnaître et nommer la droite (T).
   b) Placer le point K.

9. B.7

   Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ sur $[-5;2]$.

10. C.1

    Partie C
    On considère la fonction H définie sur $\mathbb{R}$ par : $H(x)=(2x-5)e^x$.
    Vérifier que H est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

11. C.2

    Calculer l'aire en cm² de la partie du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe (OI) et les droites d'équations respectives $x=0$ et $x=\frac{3}{2}$.