Sujet du BAC A1 2013 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 4 points

1. 1

   Calculer le nombre d'abonnés de la PME au terme de la première année d'exercice.

2. 2

   Soit $(b_n)$ la suite définie par : $b_n=25000-a_n$, pour tout entier naturel $n$.
   a) Calculer $b_0$ et $b_1$.
   b) Démontrer que $(b_n)$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme 15 000.
   c) Exprimer $b_n$ en fonction de $n$.
   d) En déduire que : $a_n=25000-15000\times (0,8{)}^n$.

3. 3

   Déterminer le nombre d'années nécessaires pour que le nombre d'abonnés dépasse 22 000.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 4 points

1. 1

   Représenter le nuage de points associé à la série statistique double (X ; Y) dans le plan muni d'un repère orthonormé. L'unité graphique est telle que :

   - 2 cm représente une année sur l'axe des abscisses ;
   - 2 cm représente un taux de 1% sur l'axe des ordonnées.

   On pourra prendre le point de couple de coordonnées (0 ; 74) comme origine.

2. 2

   Calculer les coordonnées du point moyen G.

3. 3

   a) Justifier que Cov (X ; Y) = 2,7 ; V(X) = 2,9 et V(Y) = 2,7 (arrondis d'ordre 1) où Cov (X ; Y) est la covariance de (X ; Y) et V(X) et V(Y) les variances respectives des séries statistiques simples X et Y.
   b) Calculer l'arrondi d'ordre 2 du coefficient de corrélation linéaire entre X et Y.
   c) Justifier qu'il existe une forte corrélation linéaire entre l'âge de la mutuelle et le taux global d'adhésion.

4. 4

   a) Justifier qu'une équation de la droite (D) de régression de Y en X est :
   (D) : $y=0,9x+74,7$. Les résultats seront arrondis à l'ordre 1.
   b) Tracer (D) sur la figure de la question 1-).

5. 5

   Quel devrait être le taux d'adhésion à la MUCAKO en 2015 selon l'ajustement réalisé ?

Exercice 3 · 12 points

1. A.1

   PARTIE A
   a) Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$.
   b) Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

2. A.2

   a) Justifier que pour tout nombre réel $x$ : $f^{\prime }(x)=1+e^x$.
   b) Etudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variation.

3. A.3

   a) Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$.
   b) Justifier que : $-0,6<\alpha <-0,5$.

4. A.4

   a) Justifier que la droite (D) d'équation $y=x$ est une asymptote à (C) en $-\infty$.
   b) Etudier les positions relatives de (D) et (C).

5. A.5

   Justifier qu'une équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse 0 est : $y=2x+1$.

6. A.6

   a) Recopier puis compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

   $x$	−2,5	−2	−1	0	1	2
   Arrondi d'ordre 1 de $f(x)$

   b) Tracer (D), (T) et (C) sur $]-\infty ;2]$. On prendra $\alpha =-0,6$.

7. B.1

   PARTIE B
   Justifier que $e^{\alpha }=-\alpha$.

8. B.2

   On pose $I={\int }_{-1}^{\alpha }{e}^{x}dx$.
   a) Justifier que $I=-\left(\alpha +\frac{1}{e}\right)$.
   b) Hachurer la région du plan délimitée par (C), (D) et les droites d'équations respectives : $x=-1$ et $x=\alpha$.
   c) Calculer en cm² l'aire $\mathcal{A}$ de la région hachurée. On donnera l'arrondi d'ordre 1 de $\mathcal{A}$.