Sujet du BAC A1 2009 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 6 points

1. A.1

   Partie A
   1/ Vérifier que le nombre de colis possibles que Monsieur Koné peut présenter à sa cliente est 1140.

2. A.2

   2/ a) Calculer la probabilité pour que le colis soit composé de poissons de trois espèces différentes.
   b) Calculer la probabilité pour que le colis soit composé de poissons de la même espèce.
   c) Calculer la probabilité pour qu'il y ait au moins un machoiron dans le colis.

   Les résultats seront donnés sous la forme d'une fraction irréductible. Puis on calculera leur arrondi d'ordre 2.

3. B.1

   Partie B
   Soit X la variable aléatoire égale au montant à payer par Mᵐᵉ Irié.
   1/ Déterminer les différentes compositions du colis lorsque X est égal à 1500 F.

4. B.2

   2/ Justifier que les valeurs prises par X sont : 1200 F ; 1300 F ; 1400 F ; 1500 F ; 1600 F ; 1700 F ; 2100 F ; 1800 F ; 1900 F.

5. B.3

   3/ Recopier et compléter le tableau suivant :

   $x_i$	1200	1300 F	1400 F	1500 F	1600 F	1700 F	1800 F	1900 F	2100 F
   $P(X=x_i)$		$\frac{80}{1140}$	$\frac{140}{1140}$		$\frac{280}{1140}$		$\frac{105}{1140}$	$\frac{168}{1140}$	$\frac{35}{1140}$

6. B.4

   4/ Calculer le prix moyen d'un colis de poisson.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. A

   Partie A
   On désigne par $a_n$ le montant du versement en F CFA effectué par Aka à la fin du $n^{\text{ieˋme}}$ mois pour la formule 1.

   1. Justifier que $(a_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
   2. En déduire l'expression de $a_n$ en fonction de $n$.
   3. Recopier et compléter le tableau ci-dessous :

   $n$	1	2	3	4	5	Total
   $a_n$

   4) Donner le prix de la voiture pour la formule 1.

2. B

   Partie B
   On désigne par $b_n$ le montant du versement en F CFA effectué par Aka à la fin du $n^{\text{ieˋme}}$ mois pour la formule 2.

   1. Justifier que $b_3=510000$.
   2. a) Démontrer que $(b_n)$ est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme.
      b) Exprimer $b_n$ en fonction de $n$ et calculer $b_{12}$.
   3. Calculer le prix de la voiture pour la formule 2.
   4. La voiture ne sera livrée à Aka qu'à la fin du contrat. Si vous étiez à la place d'Aka, quelle formule choisiriez-vous ?
      En quelques lignes, argumentez votre choix.

Exercice 3 · 9 points

1. A.1

   Partie A

   1. a) Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }g(x)$.
      b) Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)$ (on pourra écrire que $g(x)=x\left(-2-\frac{3}{x}+\frac{e^x}{x}\right)$).
2. A.2
   2. a) Calculer $g^{\prime }(x)$.
      b) Justifier que g est strictement décroissante sur $]-\infty ;\ln 2]$ et strictement croissante sur $[\ln 2;+\infty [$.
      c) Dresser le tableau de variation de g.
3. A.3
   3. a) Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet deux solutions sur $\mathbb{R}$.
      On notera $\alpha$ et $\beta$ ces solutions ($\alpha <\beta$).
      b) Justifier que $1,9<\beta <2$.
      c) Etudier le signe de g suivant les valeurs de $x$.
      On prendra $\alpha =-1,35$ et $\beta =1,95$.
4. A.4
   4. a) Justifier que la droite (D) d'équation $y=-2x-3$ est une asymptote à $(\mathcal{C})$ en $-\infty$.
      b) Etudier les positions relatives de (D) et $(\mathcal{C})$.
5. A.5

   5) a) Recopier et compléter le tableau des valeurs ci-dessous :

   $x$	−3	−2	2	3
   Arrondi d'ordre 1 de g(x)

   b) Tracer (D).
   c) Construire $(\mathcal{C})$ sur l'intervalle $[-3;3]$.
   On prendra $\ln 2=0,69$.

6. B

   Partie B

   1. a) Déterminer une primitive G de g sur $\mathbb{R}$.
      b) Calculer $I={\int }_2^{3}g(x)dx$.
   2. a) Hachurer la région du plan délimitée par $(\mathcal{C})$, (OI) et les droites d'équations respectives $x=2$ et $x=3$.
      b) Vérifier que l'arrondi d'ordre 2 de l'aire $\mathcal{A}$ en cm² de la partie hachurée est égale à 9,39 cm².