Sujet du BAC A1 2006 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 6 points

1. 1

   Pose : $U_1=2$ ; $U_2=3$ ; $U_3=5$ ; $U_4=9$.
   a) Vérifie que :

   $U_2=2U_1-1$ ;
   $U_3=2U_2-1$ ;
   $U_4=2U_3-1$.

   b) En supposant que ce principe itératif se poursuit pour tous les autres termes, calcule le cinquième et le sixième terme de la suite.

2. 2

   Considère la suite $(U_n)$ définie par :
   $U_1=2$ et pour tout entier naturel non nul $n$, $U_{n+1}=2U_n-1$.
   A l'aide de cette suite, tu peux calculer les termes de proche en proche jusqu'au treizième.
   Mais pour y arriver plus rapidement, considère une deuxième suite $(V_n)$ définie par :
   $V_n=U_n-1$ pour tout entier naturel non nul $n$.
   a) Démontre que $(V_n)$ est une suite géométrique de raison 2.
   b) Exprime $V_n$ en fonction de $n$, ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$).
   c) Justifie que, pour tout entier naturel non nul $n$, $U_n=2^{n-1}+1$.
   d) Calcule le treizième terme de la suite $(U_n)$.

3. 3

   a) Pose, pour tout entier naturel non nul $n$, $S_n=V_1+V_2+\cdots +V_n$.
   Exprime $S_n$ en fonction de $n$.
   b) Pose, pour tout entier naturel non nul $n$, $T_n=U_1+U_2+\cdots +U_n$
   Justifie que, pour tout entier naturel non nul $n$, $T_n=S_n+n$.
   c) Déduis-en que, pour tout entier naturel non nul $n$, $T_n=2^n+n-1$.
   d) Calcule la somme des treize premiers termes de la suite $(U_n)$.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 7 points

1. 1

   Justifier qu'il y a 504 façons différentes pour les jeunes filles de choisir chacune un tee-shirt.

2. 2

   Soit A l'événement : « Les trois filles choisissent des tee-shirts de la même couleur ».
   Démontrer que la probabilité de l'événement A est égale à $\frac{5}{84}$.

3. 3

   Soit B l'événement : « Les jeunes filles choisissent des tee-shirts de trois couleurs différentes ».
   Démontrer que la probabilité de l'événement B est égale à $\frac{2}{7}$.

4. 4

   Soit C l'événement : « Exactement deux des trois tee-shirts choisis sont de la même couleur ».
   a) Calculer la probabilité de l'événement $A\cup B$.
   b) En déduire la probabilité de l'événement C.

5. 5

   Soit D l'événement : « Un seul des trois tee-shirts choisis est blanc ».
   Démontrer que la probabilité de D est égale à $\frac{15}{28}$.

6. 6

   Un tee-shirt blanc coûte 1000 Francs. Un tee-shirt orange ou vert coûte 1500 francs. X est la variable aléatoire égale au montant total à payer pour les 3 tee-shirts choisis par les jeunes filles.
   a) Vérifier que X = 4000 lorsqu'un seul des trois tee-shirts choisis est blanc.
   b) Calculer la valeur prise par X lorsque exactement deux tee-shirts sur les trois choisis sont blancs.
   c) Démontrer que l'ensemble des valeurs prises par X est {3000 ; 3500 ; 4000 ; 4500}.

7. 7

   a) Compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de X.

   $k$	3000	3500	4000	4500
   $P(X=k)$		$\frac{3}{14}$

   b) Démontrer que l'espérance mathématique de X est égale à 4000.

Exercice 3 · 7 points

1. A.1

   Partie A
   a) Calculer la limite de $f$ en $+\infty$.
   b) Calculer la limite de $f$ en $-\infty$.

2. A.2

   a) Calculer la limite de $[f(x)-(1+x)]$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$.
   b) Donner une interprétation graphique de cette limite.

3. A.3

   a) Calculer la dérivée de $f$.
   b) Démontrer que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
   c) Dresser le tableau de variation de $f$.

4. B.1

   Partie B
   Dans ce tableau, on donne les arrondis d'ordre 2 de $f(x)$.

   $x$	−4	−3	−2	−1,3	−1,2	−1	0,5	1	1,5	2
   $f(x)$	−2,98	−1,95	−0,86	−0,03	0,10	0,37	3,15	4,72	6,98	10,39

   a) Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$.
   b) Vérifier que $\alpha$ est compris entre −1,3 et −1,2.

5. B.2

   Dans le repère (O, I, J) :
   a) tracer la droite (D) d'équation $y=x+1$ ;
   b) démontrer que la courbe (C) est au-dessus de la droite (D) ;
   c) tracer la courbe (C) dans l'intervalle $[-4;2]$.

6. B.3

   Soit A la partie du plan délimitée par la droite (D), la courbe (C) et les droites d'équations respectives $x=0$ et $x=2$.
   a) Hachurer A.
   b) Calculer l'aire de A en cm².