Sujet du BAC G2 2009 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · Dénombrement · 3 points

1. 1-2

   Sachant qu'il ne reste que 5 places disponibles dans le parking A
   a) déterminer le nombre de possibilités de choisir les 5 véhicules que le responsable peut faire garer dans le parking.
   b) les places disponibles étant numérotées, déterminer le nombre de possibilités de garer les 5 voitures.
   2/ les 4 autres personnes se sont dirigées au parking qui dispose de 10 places libres numérotées.
   Déterminer le nombre de possibilités pour les quatre autres personnes de garer leur véhicule.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · Statistiques · 6 points

1. 1-2

   Représenter le nuage de points associé à cette série. Origine A (20 ; 55).
   Échelle : 2 cm pour une centaine de francs en abscisse
   1 cm pour une centaine de poulets en ordonnée.
   2) a- Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points.
   b- Calculer les variances de $x$ et de $y$
   c- Calculer la covariance
   d- Calculer le coefficient de corrélation linéaire r entre les variables. Vérifier que la valeur de r justifie un ajustement linéaire du nuage de points.

2. 3

   Déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$. (Les coefficients seront arrondis à l'ordre 2)

3. 4

   Le coût de production d'un poulet s'élève à 1 000 FCFA et les charges fixes mensuelles de la ferme à 2 000 000 F CFA. Ce mois-ci le prix unitaire de vente d'un poulet est de 2 000 F CFA (20 centaines de F CFA)
   a- En utilisant l'équation de la droite de régression obtenue à la question 3, calculer le nombre de poulets que la ferme pourrait vendre
   b- En fait la ferme a produit 6 000 poulets et on a vendu 5 027. Calculer le bénéfice réalisé par la ferme.

Exercice 3 · Problème · 11 points

1. A

   Partie A
   On considère la fonction g définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=2e^{2x}-5e^x+2$
   1- a) Résoudre l'équation : $x\in \mathbb{R}$, $2e^{2x}-5e^x+2=0$
   b) Résoudre l'équation : $x\in \mathbb{R}$, $g(x)=0$
   2- démontrer que $\forall x\in ]-\infty ;-\ln 2[\cup ]\ln 2;+\infty [$, $g(x)>0$ et $\forall x\in ]-\ln 2;\ln 2[$, $g(x)<0$

2. B.1-4

   Partie B
   On considère la fonction f de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par $f(x)=2x+2+\frac{e^x}{e^x-1}$
   On désigne par $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J) d'unité 1 cm.
   1- Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction f.
   2- a) Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$
   b) Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ (On pourra remarquer que $\forall x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, $\frac{e^x}{e^x-1}=\frac{1}{1-e^{-x}}$)
   3- a) Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)$
   b) Interpréter graphiquement les résultats obtenus à la question 3-a précédente.
   4- Démontrer que la droite $({\Delta }_1)$ d'équation $y=2x+3$ est asymptote à $(C_f)$ en $+\infty$. On admettra que la droite $({\Delta }_2)$ d'équation $y=2x+2$ est asymptote à $(C_f)$ en $-\infty$.

3. B.5-7

   On considère par f' la fonction dérivée de f.
   a) Calculer pour tout $x\ne 0$, $f^{\prime }(x)$ et justifier que $f^{\prime }(x)=\frac{g(x)}{(e^x-1{)}^2}$
   b) Déduire de la question 2 de la partie A le signe de $f^{\prime }(x)$ selon les valeurs de $x$ ainsi que les variations de la fonction f.
   c) Établir le tableau de variations de la fonction f.
   6- Démontrer que $\Omega \left(0;\frac{5}{2}\right)$ est un centre de symétrie pour la courbe $(C_f)$
   7- Représenter graphiquement dans le repère orthonormé (O, I, J), les droites $({\Delta }_1)$ ; $({\Delta }_2)$ et la courbe $(C_f)$

4. C

   Partie C
   1- Justifier que la fonction F telle que $F(x)=x^2+2x+\ln (e^x-1)$ est une primitive de f sur $]0;+\infty [$
   2- Déterminer en cm² la valeur exacte puis l'arrondi d'ordre 2 de l'aire de la partie du plan limitée par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=\ln 2$ et $x=\ln 4$