Sujet du BAC E 2020 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 5 points

1. 1

   a) Déterminer et construire le point G, barycentre des points pondérés (A, 1) ; (B, −1) et (C, 1).
   b) Déterminer et construire le point G', barycentre des points pondérés (A, 1) ; (B, 5) et (C, −2).

2. 2

   Soit J le milieu de [AB].
   a) Exprimer les vecteurs $\overrightarrow{G{G}^{\prime }}$ et $\overrightarrow{J{G}^{\prime }}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ puis en déduire que le point J est le point d'intersection des droites (GG') et (AB).
   b) Démontrer que le barycentre I des points pondérés (B, 2) et (C, −1) appartient à (GG').

3. 3

   Soit D un point quelconque du plan n'appartenant pas à la droite (AC).
   Soit O le milieu de [CD] et K le milieu de [OA].
   a) Déterminer trois nombres réels a, b et c tels que K soit le barycentre de (A, a) ; (D, b) et (C, c).
   b) Soit E le point d'intersection des droites (DK) et (AC).
   Démontrer que E est le barycentre des points pondérés (A, 2) et (C, 1).

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. 1

   Soit f la fonction numérique définie sur [0 ; 1] par : $f(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$.
   a) Calculer $f^{\prime }(x)$ et en déduire $u_0$, f' étant la dérivée de f.
   b) Calculer $u_1$.

2. 2

   On ne cherchera pas à calculer $u_n$
   a) Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante et en déduire qu'elle converge.
   b) Démontrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [0 ; 1],
   on a : $1\le \sqrt{1+x^2}\le \sqrt{2}$.
   En déduire que pour tout entier naturel $n\ge 1$, on a : $\frac{1}{(n+1)\sqrt{2}}\le u_n\le \frac{1}{n+1}$. (1)
   c) Déterminer la limite de $(u_n)$.

3. 3

   Pour tout entier naturel $n\ge 3$, on pose $I_n={\int }_0^1{x}^{n-2}\sqrt{1+x^2}dx$.
   a) Justifier que : $\forall n\ge 3$, $u_n+u_{n-2}=I_n$.
   b) À l'aide d'une intégration par parties de $I_n$, démontrer que : $\forall n\ge 3$, $n{u}_n+(n-1)u_{n-2}=\sqrt{2}$.
   c) En déduire que : $\forall n\ge 3$, $(2n-1)u_n\le \sqrt{2}$. (2)
   d) À l'aide des inégalités (1) et (2), démontrer que : $\forall n\ge 3$, $\frac{n}{(n+1)\sqrt{2}}\le n{u}_n\le \frac{n\sqrt{2}}{2n-1}$
   En déduire que la suite $(n{u}_n)$ est convergente.

Exercice 3 · PROBLÈME · 10 points

1. A.1-2

   Partie A
   1. Démontrer que $f_n$ est dérivable à droite en 0.
   2. a) Démontrer que : $\forall n>0$, $0<e^{-\frac{n}{2}}<1$.
   b) Résoudre dans ]0 ; 1], l'inéquation : $\ln x+\frac{n}{2}<0$.

2. A.3-4

   3. a) Démontrer que : $\forall x\in ]0;1]$, $f_n^{\prime }(x)=2x(\ln x{)}^{n-1}\left(\ln x+\frac{n}{2}\right)$
   b) Étudier suivant les valeurs de n, les variations de $f_n$ puis dresser son tableau de variation (On distinguera trois cas : n = 1, n pair et n impair)
   4. a) Démontrer que toutes les courbes $(C_n)$ passent par deux points fixes dont on déterminera les coordonnées.
   b) Construire $(C_1)$ et $(C_2)$ dans le même repère.

3. B.1

   Partie B
   t désigne un nombre réel appartenant à [0 ; 1]. On pose $I_n(t)={\int }_t^1{f}_n(x)dx$ et $L_n={\int }_0^1{f}_n(x)dx$.
   On admet que $L_n=\underset{t\to 0}{\lim }{I}_n(t)$.
   1. Soit F la fonction dérivable et définie sur [0 ; 1] par : $\{\begin{array}{l}F(x)=\frac{x^3}{3}(\ln x)-\frac{x^3}{9}\text{ si }x\in ]0;1]\\ F(0)=0\end{array}$
   a) Démontrer que F est une primitive de $f_1$ sur [0 ; 1].
   b) Calculer $L_1$.

4. B.2-3

   2. Soit ${\phi }_n$ la fonction définie sur ]0 ; 1] par ${\phi }_n(t)=-\frac{1}{3}{t}^3(\ln t{)}^n$.
   a) Calculer la limite de ${\phi }_n$ en 0.
   b) À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que : $\forall t\in ]0;1]$, $I_{n+1}(t)={\phi }_{n+1}(t)-\frac{n+1}{3}{I}_n(t)$
   c) En déduire que : $L_{n+1}=-\frac{n+1}{3}{L}_n$.
   d) Démontrer par récurrence que : $\forall n\ge 1$, $L_n=(-1{)}^n\frac{n!}{3^{n+1}}$.
   3. Calculer en fonction de n, l'aire A(n) de la partie du plan délimitée par $(C_n)$ ; l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.