Sujet du BAC E 2019 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 5 points

1. 1-3

   1- Faire une figure qu'on complètera au fur et à mesure.
   2- Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de r'.
   3- On considère $f=r^{\prime }\circ h$.
   a) Déterminer l'image de C par f.
   b) Donner la nature de f puis préciser son angle et son rapport.

2. 4-5

   4- Déterminer et construire l'ensemble $(\Gamma )$ des points M tels que $M{D}^2-3M{C}^2=0$.
   5- Soit Ω le centre de f.
   a) Démontrer que Ω appartient à $(\Gamma )$ et au cercle de diamètre [DC].
   b) Construire Ω.
   c) Déterminer $\mathrm{Mes}(\widehat{\overrightarrow{CD},\overrightarrow{C\Omega }})$.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. 1-5

   1- Déterminer P(G) et $P_G(W)$.
   2- Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré qui sera complété tout au long de l'exercice.
   On suppose que la probabilité de W est $P(W)=\frac{7}{10}$.
   3- Déterminer la probabilité de l'événement : « le téléphone possède les deux options ».
   4- Démontrer que $P_{\overline{G}}(W)=\frac{23}{30}$. Compléter l'arbre de la question 2.
   5- On choisit un téléphone avec l'option wifi. Quelle est la probabilité qu'il ne possède pas d'option GPS ?

2. 6

   Le coût de revient par téléphone d'une option, pour le fabricant du téléphone est de 7 200 F pour l'option GPS et de 3 600 F pour l'option wifi.
   a) Déterminer la loi de probabilité du coût de revient d'un téléphone suivant ces deux options.
   b) Calculer l'espérance mathématique de cette loi et interpréter ce résultat.

Exercice 3 · PROBLÈME · 10 points

1. A.1-3

   Partie A
   Soit f la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=\frac{1+2\ln x}{x^2}$ et (Cf) sa courbe représentative.
   Soit (Ch) la courbe représentative de la fonction h définie sur $]0;+\infty [$ par $h(x)=\frac{1}{x}$.

   1- Déterminer les limites de f en $+\infty$ et à droite en 0.
   Interpréter graphiquement les résultats.
   2- On admet que f est dérivable sur $]0;+\infty [$ et on note f' sa dérivée.
   a) Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0;+\infty [$.
   b) Étudier les variations de f
   3- Soit A le point d'intersection de (Cf) avec la droite des abscisses.
   Déterminer les coordonnées de A.

2. A.4-6

   4- Pour tout $x$ élément de l'intervalle $]0;+\infty [$, on pose $g(x)=1-x+2\ln x$.
   a) Étudier les variations de la fonction g.
   b) Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique dans chacun des intervalles $]0;2[$ et $]2;4[$.
   c) Soit $\alpha$ la solution appartenant à l'intervalle $]2;4[$.
   Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$
   d) Calculer g(1) puis en déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
   5- a) Étudier les positions relatives de (Cf) et (Ch).
   b) Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ supérieur ou égal à 4, on a : $0<f(x)\le \frac{1}{x}$.
   6- Construire (Cf) et (Ch).

3. B

   Partie B
   1- a) Déterminer, en cm², l'aire $\mathcal{A}(\alpha )$ de la partie du plan délimitée par la courbe (Cf), l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=\alpha$.
   b) Démontrer que $\mathcal{A}(\alpha )=2-\frac{2}{\alpha }$ cm² et donner une valeur approchée de $\mathcal{A}(\alpha )$ à $10^{-1}$ près.
   2- Soit la suite $(I_n)$ définie pour tout entier naturel n non nul par : $I_n={\int }_n^{n+1}f(x)dx$
   a) Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 4, on a : $0\le I_n\le \ln \left(\frac{n+1}{n}\right)$.
   b) Calculer la limite de la suite $(I_n)$ puis en déduire que $(I_n)$ converge.
   c) Soit $S_n=I_1+I_2+\cdots +I_n$. Calculer $S_n$ en fonction de n, puis calculer la limite de la suite $(S_n)$.

4. C

   Partie C
   On considère, pour tout entier naturel n non nul, la fonction $f_n$ définie sur $]0;+\infty [$ par : $f_n(x)=\frac{1+2\ln x}{x^{2n}}$.
   On admet que $f_n$ est dérivable sur $]0;+\infty [$ et on désigne par $f_n^{\prime }$ sa dérivée.
   1- Calculer $f_n^{\prime }(x)$ pour tout $x$ strictement positif.
   2- Résoudre l'équation $f_n^{\prime }(x)=0$. Soit $x_n$ la solution de cette équation.
   3- Déterminer la limite de la suite $(x_n)$.