Sujet du BAC E 2022 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 5 points

1. 1

   a. Représenter tous les tirages possibles dans un tableau à double entrée.
   b. Calculer la probabilité de l'événement A : « obtenir 2 boules portant le même chiffre ».

2. 2-3

   2. Un jeu consiste à tirer au hasard une boule de l'urne U, puis une boule de l'urne V. Le joueur mise 1 000 FCFA. L'organisateur du jeu remet alors au joueur une somme (en milliers de francs CFA) égale au produit des deux nombres figurant sur les deux boules tirées.
   Soit X la variable aléatoire qui, à chaque jeu, associe le gain algébrique du joueur.
   a. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X.
   b. Présenter la loi de probabilité de X dans un tableau.
   c. Calculer l'espérance mathématique E(X) de X. Ce jeu est-il équitable ?
   NB : Le jeu est équitable lorsque E(X) = 0.
   3. Déterminer la mise du joueur qui rend le jeu équitable.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. 1-2

   1. Faire une figure que l'on complètera au fur et à mesure. On prendra AB = 5 cm.
   2. On appelle $r_A$ la rotation de centre A qui transforme B en C et $r_C$ la rotation de centre C et d'angle $-\frac{\pi }{2}$.
   On pose : $f=r_C\circ r_A$.
   a. Déterminer les images par f des points A et B.
   b. Justifier que f est une rotation dont on précisera l'angle et le centre O. Placer O sur la figure.
   c. Quelle est la nature du quadrilatère ABOC ?

2. 3

   Soit S la similitude directe de centre O qui transforme A en B.
   On désigne par C' l'image de C par S, H le milieu du segment [BC] et H' l'image de H par S.
   a. Donner une mesure de l'angle de S.
   b. Démontrer que C' appartient à la droite (OA).
   c. Démontrer que (C'H') est perpendiculaire à (OB).
   e. En déduire que C' est le centre du cercle circonscrit au triangle OBC.

Exercice 3 · Problème · 10 points

1. 1

   Partie 1
   Soit a un nombre réel appartenant à l'intervalle $[0;2\pi ]$.
   On considère la suite géométrique u de premier terme $u_0=\cos (a)$ et de raison $\sin (a)$.
   1. a. Exprimer $u_n$ en fonction de n.
   b. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ (On distinguera les cas $|\sin (a)|=1$ et $|\sin (a)|<1$).
   2. Soit $S_n=u_0+u_1+\cdots +u_n$ la somme des n + 1 premiers termes consécutifs de la suite u.
   a. Exprimer $S_n$ en fonction de n.
   b. Déterminer la limite de $S_n$ lorsque n tend vers $+\infty$.

2. 2

   Partie 2
   Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$. (Unité graphique : 4 cm).
   1. Tracer la courbe $(C_0)$ représentative de la fonction $S_0$ définie sur $\left[\frac{3\pi }{2};2\pi \right]$ par $S_0(x)=\cos (x)$.
   2. On considère la fonction $S_1$ définie sur $\left[\frac{3\pi }{2};2\pi \right]$ par $S_1(x)=\cos (x)+\cos (x)\sin (x)$.
   a. On admet que $S_1$ est dérivable sur $\left[\frac{3\pi }{2};2\pi \right]$ et on note $S_1^{\prime }$ sa dérivée.
   Pour $x$ élément de $\left[\frac{3\pi }{2};2\pi \right]$, calculer $S_1^{\prime }(x)$ puis vérifier que $S_1^{\prime }(x)=-2(\sin (x)+1)\left(\sin (x)-\frac{1}{2}\right)$.
   b. En déduire le signe de $S_1^{\prime }(x)$ pour tout $x$ élément de $\left[\frac{3\pi }{2};2\pi \right]$.
   c. Dresser le tableau de variation de $S_1$ sur $\left[\frac{3\pi }{2};2\pi \right]$.
   3. On considère la fonction $S$ définie sur $\left[\frac{3\pi }{2};2\pi \right]$ par $S(x)=\frac{\cos (x)}{1-\sin (x)}$.
   a. On admet que $S$ est dérivable sur $\left[\frac{3\pi }{2};2\pi \right]$ et on note $S^{\prime }$ sa dérivée.
   Démontrer que : $\forall x\text{inKATEXPH}0FIN\left[\frac{3\pi }{2};2\pi \right]$ ; $S_1(x)\le S(x)\le S_0(x)$.
   b. Tracer les courbes représentatives $({\mathcal{C}}_1)$ et $(\mathcal{C})$ des fonctions $S_1$ et $S$ dans le repère $(O;\vec{i},\vec{j})$.

3. 3

   Partie 3
   Pour tout nombre entier naturel n, on considère la fonction $S_n$ définie sur $[0;2\pi ]$ par $S_n(x)=\cos (x)\left(1+\sin (x)+\cdots +{\sin }^n(x)\right)$ et on pose $I_n={\int }_{\frac{3\pi }{2}}^{2\pi }{S}_n(x)dx$.
   1. a. Calculer $I_0$, $I_1$ et $I={\int }_{\frac{3\pi }{2}}^{2\pi }S(x)dx$.
   b. Justifier que $I_1\le I\le I_0$.
   2. a. Démontrer que pour tout entier naturel n, on a : $I_{n+1}-I_n=\frac{(-1{)}^{n+1}}{n+2}$.
   b. Démontrer par récurrence que : $\forall n\in \mathbb{N}$, $I_n=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{(-1{)}^n}{n+1}$.