Sujet du BAC E 2018 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 5 points

1. 1

   a) Calculer $I_0$.
   b) En utilisant une intégration par parties, calculer $I_1$.

2. 2

   a) En effectuant deux intégrations par parties successives, déterminer, lorsque $n\ge 1$, $I_{n+2}$ en fonction de $I_n$.
   b) Vérifier que : $I_3=\frac{{\pi }^2}{108}-\frac{2}{27}$.

3. 3

   a) Démontrer que la suite $(I_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est décroissante.
   b) Justifier que, pour tout nombre entier naturel n non nul, $I_n\le {\int }_0^{\frac{\pi }{6}}{x}^{n}dx$.
   c) Déterminer la limite de la suite $(I_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. 1

   a) Étudier le sens de variation de f sur $[0;\pi ]$.
   b) Dresser le tableau de variation de f.
   c) Tracer la courbe (Cf) et ses tangentes aux points d'abscisses respectives 0, $\frac{\pi }{2}$ et $\pi$.

2. 2

   Démontrer que, l'aire exprimée en cm², de la plaque est égale à $4{\pi }^2$.

3. 3

   On admettra que les coordonnées du centre d'inertie G de la plaque sont données par :
   $x_G=\frac{1}{{\pi }^2}{\int }_0^{\pi }xf(x)dx$ et $y_G=\frac{1}{2{\pi }^2}{\int }_0^{\pi }(f(x){)}^{2}dx$.
   On pose $I={\int }_0^{\pi }{\sin }^2(2x)dx$ et $J={\int }_0^{\pi }x\sin (2x)dx$.
   a) Vérifier que : $x_G=\frac{1}{{\pi }^2}\left(\frac{2}{3}{\pi }^3+J\right)$ et $y_G=\frac{1}{2{\pi }^2}\left(\frac{4}{3}{\pi }^3+4J+I\right)$
   b) Calculer I. (on pourra utiliser la formule ${\sin }^2(t)=\frac{1-\cos 2t}{2}$)
   c) En utilisant une intégration par parties, calculer J.
   d) Déduire des questions 3.a), b) et c) les coordonnées du point G.

Exercice 3 · PROBLÈME · 10 points

1. A

   Partie A
   Soit $(\Gamma )$ l'ellipse de centre Ω passant par les points A et B et dont l'axe focal est l'axe (OI).
   1- Construire les points A, B, C et Ω.
   2- a) Déterminer les foyers, les directrices et l'excentricité de $(\Gamma )$.
   b) Déterminer une équation cartésienne de $(\Gamma )$ dans le repère (O, I, J).
   c) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $(\Gamma )$ avec l'axe (OJ).
   3- Tracer $(\Gamma )$ dans le repère (O, I, J).

2. B.1-2

   Partie B
   On désigne par s la similitude de centre A, de rapport 2 et d'angle $\frac{2\pi }{3}$ et par h l'homothétie de centre A et de rapport $-\frac{1}{2}$.
   Soit E l'image du point C par h.
   1- a) Démontrer que le triangle ABC est un triangle équilatéral de sens direct.
   b) Démontrer que $s(E)=B$.
   c) Construire les points F et K tels que $s(C)=F$ et $s(B)=K$.
   2- Le cercle circonscrit au triangle BCE recoupe la droite (AB) en un point G et le cercle circonscrit au triangle BFK recoupe la droite (AK) en un point D.
   a) Construire les points G et D.
   b) Démontrer que $s(G)=D$.

3. B.3-5

   3- Soit $S_{(OA)}$ la symétrie orthogonale d'axe (OA).
   a) Démontrer que $S_{(OA)}(E)=G$
   b) Justifier que $h(B)=G$
   c) Démontrer que le triangle ABD est équilatéral de sens indirect.
   4- Démontrer que le quadrilatère ADBC est un losange.
   5- Démontrer que l'image du triangle DBA par $h^{-1}$ est le triangle KAF (où $h^{-1}$ est la réciproque de h).