Sujet du BAC D 2010 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 5 points

1. A.1

   Partie A
   On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation :
   (E) : $4z^3-6i\sqrt{3}{z}^2-3(3+i\sqrt{3})z-4=0$.

   Déterminer les racines carrées de $6+6i\sqrt{3}$.

2. A.2

   Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $2z^2-(1+3i\sqrt{3})z-4=0$.

3. A.3

   a) Développer, réduire et ordonner $(2z+1)[2z^2-(1+3i\sqrt{3})z-4]$.
   b) En déduire les solutions de (E).

4. A.4

   Soit $z_0=-\frac{1}{2}$, $z_1=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\sqrt{3}$ et $z_2=1+i\sqrt{3}$.
   Exprimer chacun des nombres complexes $z_0$, $z_1$ et $z_2$ sous forme trigonométrique.

5. B.1

   Partie B

   Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$ où l'unité est 1 cm, on considère les points $M_0$, $M_1$ et $M_2$ d'affixes respectives $-\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\sqrt{3}$ et $1+i\sqrt{3}$.

   S est la similitude directe de centre O, d'angle $-\frac{\pi }{3}$ et de rapport 2.

   a) Déterminer l'écriture complexe de S.
   b) Justifier que $S(M_0)=M_1$ et $S(M_1)=M_2$.

6. B.2

   Soit $M_n$ un point du plan d'affixe $z_n$. On pose pour tout nombre entier naturel $n$, $M_{n+1}=S(M_n)$.
   Justifier que $z_{n+1}=(1-i\sqrt{3})z_n$ où $z_{n+1}$ est l'affixe de $M_{n+1}$.

7. B.3

   On considère la suite $(U_n)$ définie pour tout nombre entier naturel $n$ par $U_n=|z_n|$.
   a) Démontrer que $(U_n)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.
   b) Justifier que la distance $O{M}_{12}=2048$.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 4 points

1. 1

   Calculer la probabilité d'avoir une baisse du taux de glycémie sachant qu'on a pris le médicament.

2. 2

   Démontrer que la probabilité d'avoir une baisse du taux de glycémie est 0,52.

3. 3

   On soumet au test un individu pris au hasard.
   Quelle est la probabilité qu'il ait pris le médicament sachant que l'on constate une baisse de son taux de glycémie.

4. 4

   On contrôle 5 individus au hasard.
   a) Quelle est la probabilité d'avoir exactement deux personnes dont le taux de glycémie a baissé.
   b) Quelle est la probabilité d'avoir au moins un individu dont le taux de glycémie a baissé.

5. 5

   On contrôle $n$ individus pris au hasard. ($n$ est un entier naturel non nul).
   Déterminer $n$ pour que la probabilité d'avoir au moins un individu dont le taux de glycémie a baissé soit supérieur à 0,98.

Exercice 3 · PROBLÈME · 11 points

1. A.1

   Partie A
   Soit la fonction $g$ dérivable sur $]0;+\infty [$ et définie par : $g(x)=1+x\ln x$.

   a) Justifier que : $\forall x\in ]0;+\infty [,g^{\prime }(x)=1+\ln x$.
   b) Étudier les variations de $g$ puis dresser son tableau de variation.
   (On ne calculera pas les limites de g.)

2. A.2

   En déduire que : $\forall x\in ]0;+\infty [,g(x)>0$.

3. B.1

   Partie B
   Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par :
   $\{\begin{array}{l}f(0)=0\\ \forall x\in ]0;+\infty [,f(x)=\frac{x}{1+x\ln x}\end{array}$
   On note (C) la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J). (Unité : 4 cm).

   a) Étudier la continuité de $f$ en 0.
   b) Étudier la dérivabilité de $f$ en 0.
   c) Démontrer qu'une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point O est : $y=x$.
   d) Démontrer que :

   (C) est au-dessus de (T) sur $]0;1[$ ;
   (C) est au-dessous de (T) sur $]1;+\infty [$.

4. B.2

   Démontrer que la droite (OI) est une asymptote à (C) en $+\infty$.

5. B.3

   a) On suppose que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty [$.
   Démontrer que : $\forall x\in ]0;+\infty [,f^{\prime }(x)=\frac{1-x}{(1+x\ln x{)}^2}$.
   b) En déduire les variations de $f$ et dresser son tableau de variation.

6. B.4

   Construire la droite (T) et la courbe (C) dans le plan muni du repère (O, I, J).

7. C.1

   Partie C
   a) Justifier que : $\forall x\in ]0;+\infty [,f(x)\le 1$.
   b) Démontrer que : $\forall x\in [1;e],1-\frac{1}{1+x}\le f(x)$.

8. C.2

   Soit A l'aire en cm² de la partie du plan limitée par (C), (OI) et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$.
   Démontrer que : $16(e-1)+16\ln \left(\frac{2}{1+e}\right)\le A\le 16(e-1)$.