Sujet du BAC D 2000 de mathématiques (session de remplacement), avec corrigé

Voici l’épreuve de mathématiques du BAC D 2000 (session de remplacement) en Côte d’Ivoire, en entier (3 exercices, 4 heures, coefficient 4). Le corrigé détaillé de la première question suit l’énoncé.

Durée : 4 heures
Coefficient 4
Noté sur 20
3 exercices

Ce que couvre le sujet

Exercice 1 (4,5 points): 7 questions sur les statistiques et les fonctions.
Exercice 2 (4,5 points): 6 questions sur les fonctions et les suites.
Exercice 3 (11 points): Problème — 9 questions sur les nombres complexes et les fonctions.

Comment le travailler

L’exercice 3 vaut 11 points sur 20 : c’est là que la note se joue. Gardez-lui le temps qu’il demande.
3 exercices en 4 heures : comptez environ 65 minutes par exercice et gardez un quart d’heure pour relire.
Quand le sujet donne un résultat (« montrer que… »), servez-vous-en pour la suite, même si vous n’avez pas réussi à le démontrer.
Lisez tout le sujet avant de commencer et traitez d’abord l’exercice où vous êtes le plus sûr de vous.

L’énoncé complet

BAC D 2000 · Mathématiques

Sujet officiel du BAC D 2000, Côte d’Ivoire.

Session de remplacement · Durée : 4 heures · Coefficient : 4 · 2 exercices et un problème · 20 points. Le candidat recevra 2 feuilles de papier millimétré. Toute calculatrice scientifique est autorisée.

Exercice 1 · 4,5 points

Pour préparer la retraite de ses membres, une coopérative de fonctionnaires ivoiriens a planté en 1991 des anacardiers qui sont rentrés en production trois ans plus tard. Le tableau statistique suivant donne l'évolution des productions depuis la première année de récolte.

Ordre $x_{i}$ de l'année de production	1	2	3	4	5	6	7
Année de production			1996
Quantité $y_{i}$ de production (en tonnes)	118	146	184	247	267	278	255

1
En quelle année cette coopérative a-t-elle obtenu 278 tonnes d'anacarde ?
2
Recopier et compléter le tableau statistique ci-dessus.
3
Représenter dans le plan muni du repère orthogonal (O,I,J), le nuage de points de la série statistique double $(x_{i}, y_{i})$ .
(On prendra sur la droite des abscisses : 2 cm pour unité et sur la droite des ordonnées : 1 cm pour 20 tonnes).
4
Déterminer l'arrondi d'ordre 2 du coefficient de corrélation linéaire de la distribution statistique $(x_{i}, y_{i})$ .
5
La corrélation entre les variables statistiques x et y est-elle bonne ? Justifier.
6
Déterminer par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression qui permet d'estimer l'année en fonction de la production.
7
En quelle année la coopérative produira-t-elle 350 tonnes ?

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 4,5 points

On considère les suites $(U_{n})_{n \in N}$ et $(V_{n})_{n \in N}$ définies par :

$⎩ ⎨ ⎧ U_{0} = \frac{1}{3} U_{n + 1} = \frac{3}{2} (U_{n})^{2}$ et $V_{n} = ln (\frac{3}{2} U_{n})$ .

(ln désigne la fonction logarithme népérien).

1
Calculer $V_{0}$ .
2
Démontrer que $(V_{n})$ est une suite géométrique de raison 2.
3
Exprimer $V_{n}$ en fonction de n.
4
Calculer la limite de $(V_{n})$ .
5
Exprimer $U_{n}$ en fonction de $V_{n}$ et en déduire la limite de $(U_{n})$ .
6
Pour tout entier naturel non nul n, on pose :

$S_{n} = V_{0} + V_{1} + \dots\dots\dots + V_{n - 1}$ et $T_{n} = U_{0} \times U_{1} \times U_{2} \times \dots \times U_{n - 1}$

a) Démontrer que : $S_{n} = (1 - 2^{n}) ln 2$ .
b) Exprimer $T_{n}$ en fonction de n.
c) Justifier que : $T_{n} = (\frac{2}{3})^{n} e^{S_{n}}$ .

Exercice 3 · PROBLÈME · 11 points

A.1
Partie A

Soit la fonction f définie sur $[0; + \infty [$ par :

$f (0) = 0$ et pour $x > 0$ : $f (x) = - x + x ln x$ .

(ln désigne la fonction logarithme népérien).
On désigne par $(Γ)$ la courbe représentative de f dans le plan muni du repère orthonormé (O,I,J). (Unité : 2 cm).

Calculer $f (1)$ et $f (e)$ .
A.2
Etude des branches infinies.
a) Calculer la limite de f en $+ \infty$ .
b) Calculer la limite de $\frac{f ( x )}{x}$ quand x tend vers $+ \infty$ .
c) Interpréter graphiquement ce résultat.
A.3
Etude de la dérivabilité de f en 0.
a) Démontrer que f est continue à droite en 0.
b) Etudier la dérivabilité de f en 0.
c) Préciser la tangente à $(Γ)$ en O.
A.4
La fonction f est dérivable sur $] 0; + \infty [$ et on note f ' la dérivée de f.
a) Déterminer $f^{'} (x)$ pour tout x élément de $] 0; + \infty [$ .
b) Dresser le tableau de variation de f.
c) Donner une équation de la tangente (D) à $(Γ)$ au point d'abscisse e.
A.5
Construire (D) et $(Γ)$ .
A.6
Soit t un nombre réel tel que : $0 < t < 1$ .
a) En utilisant une intégration par parties, calculer l'aire $A (t)$ de la partie du plan limitée par la courbe $(Γ)$ , la droite (OI) et les droites d'équations $x = t$ et $x = e$ .
b) Calculer la limite de $A (t)$ quand t tend vers 0.
B.1
Partie B

On considère la transformation plane T qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' telle que : $z^{'} = z + 1 + 2 i$ .
On appelle A le point d'affixe $1 - i$ et B le point d'affixe e.

Calculer les affixes de O', A', B' images respectives des points O, A et B par T.
B.2
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de T.
B.3
Construire la courbe $(Γ^{'})$ , image de $(Γ)$ par T .

Sujet imprimé depuis scholio.tech. Les corrigés détaillés sont dans l’application Scholio.

Corrigé offert

Corrigé de la question 1 (exercice 1)

La réponse

278 t au rang 6 : 1996 + 3 = 1999.

La démarche

Rang 1 = 1994.

Les erreurs à éviter

Répondre 1997 (rang 6 compté depuis 1991).

Le corrigé des 21 autres questions est dans l’application

Dans Scholio, l’élève traite ce sujet en temps limité, comme le jour de l’examen. À la fin, chaque question est corrigée, avec la démarche détaillée. Il voit tout de suite où il a perdu des points.

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