Sujet du BAC C 2011 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 4 points

1. 1-2

   1- Calculer les coordonnées $(x^{\prime };y^{\prime })$ du point M' en fonction des coordonnées $(x;y)$ du point M.
   2- a) Démontrer que l'ensemble (H) des points M du plan tels que $z^{\prime }$ soit un nombre imaginaire pur est une hyperbole.
   b) Préciser dans le repère $(O;{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2)$, les coordonnées du centre Ω, celles des sommets et les équations des asymptotes de (H).
   c) Construire (H).

2. 3

   Soit P le point d'affixe $-\frac{5}{2}-2i$.
   Déterminer les points M du plan tels que le quadrilatère OMM'P soit un parallélogramme.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. 1-2

   1- a) Justifier que l'ensemble des valeurs prises par X est {10 ; 10,5 ; 11 ; 11,5 ; 12}.
   b) Justifier que $P(X=11)=\frac{5}{16}$.
   c) Déterminer la loi de probabilité de X.
   2- Calculer l'espérance mathématique de X. Interpréter ce résultat.

2. 3-4

   3- Le livreur part à 19 h 49 min de la boulangerie.
   a) Calculer la probabilité qu'il arrive à 20 heures précises chez le client.
   b) Calculer la probabilité qu'il arrive en retard chez le client.
   4- Pour cette question, on donnera l'arrondi d'ordre 3 de chaque résultat.
   a) Calculer la probabilité pour que le pain soit livré exactement trois fois à 20 heures précises au cours d'une semaine.
   b) Calculer la probabilité pour que le pain soit livré au moins une fois à 20 heures précises au cours d'une semaine.

Exercice 3 · Problème · 11 points

1. A

   Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire.
   Soit $h$ la fonction numérique dérivable sur $\mathbb{R}$ et définie par : $h(x)=x+e^{\frac{x}{2}}$.
   1- Etudier le sens de variations de $h$.
   2- Calculer les limites de $h$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
   3- a) Démontrer que l'équation $h(x)=0$ admet dans $\mathbb{R}$ une solution unique α tel que : $-0,71<\alpha <-0,70$

   b) En déduire que :

   $\forall x\in ]-\infty ;\alpha [,h(x)<0$ ;

   $\forall x\in ]\alpha ;+\infty [,h(x)>0$.
2. B.1-4

   Partie B : Étude de la fonction $f_1$.
   Pour tout nombre réel $x$ : $f_1(x)=(2x+4)e^{-\frac{x}{2}}-x$.
   1- a) Démontrer que $f_1(\alpha )=-2-\alpha -\frac{4}{\alpha }$.
   b) En déduire un encadrement de $f_1(\alpha )$ d'amplitude 0,1.
   2- a) Pour tout réel $x$, calculer $f_1^{\prime }(x)$ et démontrer que $f_1^{\prime }(x)=-h(x)e^{-\frac{x}{2}}$.
   b) En déduire les variations de $f_1$.
   3- a) Calculer la limite quand $x$ tend vers $-\infty$ de $f_1(x)$, puis la limite quand $x$ tend vers $-\infty$ de $\frac{f_1(x)}{x}$.
   Interpréter graphiquement ces résultats.
   b) Calculer la limite quand $x$ tend vers $+\infty$ de $f_1(x)$.
   c) Démontrer que la droite (D) d'équation $y=-x$ est une asymptote à $({\mathcal{C}}_1)$ en $+\infty$.
   4- a) Dresser le tableau de variation de $f_1$.
   b) Construire la droite (D) et la courbe $({\mathcal{C}}_1)$ dans le plan muni du repère (O, I, J).

3. B.5

   a) A l'aide d'une intégration par parties, calculer pour tout nombre réel $x$ :
   $I(x)={\int }_0^x(2t+4)e^{-\frac{t}{2}}dt$.
   b) En déduire en cm² l'aire ${\mathcal{A}}_1$ de la partie du plan limitée par :

   - la courbe $({\mathcal{C}}_1)$ ;
   - la droite (D) ;
   - la droite (OI) et la droite d'équation $x=2$.

   (Le corrigé prend le domaine compris entre $({\mathcal{C}}_1)$ et (D) pour $0\le x\le 2$ : la droite d'équation $x=0$ est (OJ).)

4. C

   Partie C : Étude de la fonction $f_k$.
   1- a) Démontrer que pour tout nombre réel $x$ : $f_k^{\prime }(x)=-h\left(\frac{1}{k}x\right)e^{-\frac{x}{2k}}$.
   b) En utilisant la partie A, étudier les variations de $f_k$ suivant le signe de $k$.
   c) Vérifier que $f_k(k\alpha )=k{f}_1(\alpha )$.
   d) Dresser le tableau de variation de $f_k$ suivant le signe de $k$. (On ne demande pas de calculer les limites de $f_k$)
   2- a) Démontrer que $({\mathcal{C}}_k)$ est l'image de $({\mathcal{C}}_1)$ par l'homothétie de centre O et de rapport $k$.
   b) En déduire la construction de $({\mathcal{C}}_{-\frac{1}{2}})$ dans le même repère que $({\mathcal{C}}_1)$.
   3- On note ${\mathcal{A}}_k$ l'aire de la partie du plan limitée par :

   - la courbe $({\mathcal{C}}_k)$ ;
   - la droite (D) ;
   - la droite (OI) et la droite d'équation $x=2k$.

   Déterminer en cm² ${\mathcal{A}}_k$ en fonction de k.