Sujet du BAC B 2024 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 4 points

1. 1

   Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'équation homogène (H) : $y^{\prime }-3y=0$.

2. 2

   Soit $g$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=(Ax+B)e^{-x}$ où $(A,B)\in {\mathbb{R}}^2$.
   a) Déterminer les nombres réels A et B pour que $g$ soit une solution particulière de l'équation différentielle (E).
   b) En déduire la solution générale de (E).
   c) Déterminer la solution $f$ de (E) telle que : $f(0)=2$.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 4 points

1. 1

   a) Construire le nuage de points associé à la série statistique $(x,y)$ dans un repère orthogonal.

   Échelle :

   1 cm pour 2 jours en abscisse ;

   1 cm pour 50 individus en ordonnée.

   b) Un ajustement affine est-il envisageable ? Justifier votre réponse.
   c) Calculer les coordonnées du point moyen G et le placer dans le nuage de points.

2. 2

   Calculer :

   – la variance V(x) de $x$ ;
   – la covariance Cov(x, y) de $x$ et $y$.

3. 3

   a) Déterminer une équation de la droite (D) de régression de $y$ en $x$, par la méthode des moindres carrés.
   b) Tracer la droite (D) dans le même repère que le nuage de points.
   c) Donner une estimation du nombre d'individus contaminés après 30 jours.

Exercice 3 · PROBLÈME · 12 points

1. A.1

   Partie A
   Soit $f$ la fonction de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par : $f(x)=2+e^x+x{e}^x$.
   Calculer la limite de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

2. A.2

   On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, de fonction dérivée $f^{\prime }$.
   a) Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout nombre réel $x$.
   b) Étudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variation.

3. A.3

   Déduire des questions précédentes que : $\forall x\in \mathbb{R},f(x)>0$.

4. B.1

   Partie B
   Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $\forall x\in \mathbb{R},g(x)=2x-1+x{e}^x$.
   On note $(\mathcal{C})$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal (O, I, J) du plan.
   Unités graphiques : OI = 2 cm ; OJ = 1 cm.
   Calculer la limite de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

5. B.2

   On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, de fonction dérivée $g^{\prime }$.
   a) Vérifier que : $\forall x\in \mathbb{R},g^{\prime }(x)=f(x)$.
   b) Étudier les variations de $g$ puis dresser son tableau de variation.

6. B.3

   a) Justifier que la droite (D) d'équation $y=2x-1$ est une asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ en $-\infty$.
   b) Étudier les positions relatives de $(\mathcal{C})$ par rapport à (D).

7. B.4

   a) Justifier que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $\mathbb{R}$.
   b) Vérifier que : $0<\alpha <1$.

8. B.5

   Construire la droite (D) et la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère (O, I, J).

9. C.1

   Partie C
   Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ telle que : $h(x)=x{e}^x-e^x$.
   a) Démontrer que $h$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction : $x\mapsto x{e}^x$.
   b) En déduire une primitive de $g$ sur $\mathbb{R}$.

10. C.2

    Calculer l'aire $\mathcal{A}$ en cm², de la partie du plan délimitée par :

    – la courbe $(\mathcal{C})$ ;
    – l'axe des abscisses ;
    – et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$.

    N. B. : L'unité d'aire est égale à 2 cm × 1 cm = 2 cm².