Sujet du BAC B 2026 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 3 points

1. 1. 1. L'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ de l'inéquation $\ln (1-x)<2$ est …

      1. A$]-\infty ;1[$
      2. B$]1-e^2;1[$
      3. C$]-\infty ;1-e^2[$

   2. 2. Soit $f$ une fonction dérivable en 1, telle que $f(1)=-3$ et $f^{\prime }(1)=2$ alors une équation de la tangente au point d'abscisse 1 est …

      1. A$y=2x-5$
      2. B$y=2x-3$
      3. C$y=-2x+1$

   3. 3. Lorsqu'une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=\frac{3}{5}$, on a $p(X=4)$ est égale à …

      1. A${\left(\frac{3}{5}\right)}^4$
      2. B$3\times {\left(\frac{2}{5}\right)}^4$
      3. C$2\times {\left(\frac{3}{5}\right)}^4$

   4. 4. Le plus petit entier naturel $n$, tel que $1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n>0,95$ est …

      1. A3
      2. B2
      3. C4

   5. 5. Soit $F$ et $G$ deux événements indépendants d'un univers $\Omega$ et $p$ une probabilité sur $\Omega$ tels que $p(F)=0,75$, $p(G)=0,2$ alors $p(F\cup G)$ est égale à …

      1. A0,95
      2. B0,15
      3. C0,8

   6. 6. Le module du nombre complexe $z$ tel que $z=-1-4i$ est …

      1. A$\sqrt{5}$
      2. B$\sqrt{17}$
      3. C$-\sqrt{17}$

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. 1

   a) Vérifier que $i$ est une solution de (E).
   b) Déterminer les nombres réels $b$ et $c$ tels que $z^3-(1+i)z^2+(1+i)z-i=(z-i)(z^2+bz+c)$.

2. 2

   Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation (E).

3. 3

   On considère les nombres complexes $z_1=i$ ; $z_2=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}$, et $z_3=\frac{1-i\sqrt{3}}{2}$.
   Écrire chacun des nombres $z_1$, $z_2$ et $z_3$ sous forme trigonométrique.

4. 4

   Soit $z$ une solution de l'équation (E). Le système économique est :

   • stable si $|z|<1$ ;
   • instable si $|z|>1$ ;
   • oscille indéfiniment sans amortissement si $|z|=1$
     Interpréter économiquement les solutions de l'équation (E) sur la croissance

Exercice 3 · PROBLÈME · 12 points

1. A.1

   Partie A
   Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\frac{x-1}{e^x}+2$
   Calculer les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

2. A.2

   On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $g^{\prime }$ sa fonction dérivée.
   a) Calculer $g^{\prime }(x)$ pour tout nombre réel $x$.
   b) Étudier le sens de variation de $g$ puis dresser son tableau de variation.

3. A.3

   a) Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $]-\infty ;2[$.
   b) Justifier que $-0,38<\alpha <-0,37$

4. A.4

   Démontrer que : $\{\begin{array}{l}\forall x\in ]-\infty ;\alpha [,g(x)<0\\ \forall x\in ]\alpha ;+\infty [,g(x)>0\end{array}$

5. B.1

   Partie B
   On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x+1-x{e}^{-x}$
   On note $({\mathcal{C}}_f)$ la courbe de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O;I;J)$
   Unité graphique 2 cm
   a) Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$
   b) Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ et interpréter graphiquement les résultats.

6. B.2

   On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f^{\prime }$ sa fonction dérivée
   a) Démontrer que : $\forall x\in \mathbb{R},f^{\prime }(x)=g(x)$
   b) Étudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variation

7. B.3

   a) Démontrer que la droite (D) d'équation $y=2x+1$ est une asymptote à $({\mathcal{C}}_f)$ en $+\infty$
   c) Étudier les positions relatives de $({\mathcal{C}}_f)$ et (D).

8. B.4

   Démontrer qu'une équation de la tangente à $({\mathcal{C}}_f)$ au point J est $y=x+1$.

9. B.5

   Construire (D), (T) et $({\mathcal{C}}_f)$ dans le repère $(O;I;J)$ (on prendra $\alpha =-0,38$).

10. C.1

    Partie C
    Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ tels que la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=(ax+b)e^{-x}$ soit une primitive de la fonction $x\mapsto x{e}^{-x}$

11. C.2

    Soit $\mathcal{A}$ l'aire en cm² de la partie du plan délimité par la courbe $({\mathcal{C}}_f)$, la droite (D) et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$. Calculer $\mathcal{A}$ puis donner l'arrondi d'ordre 2 du résultat.