Sujet du BAC B 2022 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 5 points

1. 1

   On pose, pour tout $t$ élément de $]0;+\infty [$ : $z(t)=\frac{1}{f(t)}$.
   a) Déterminer $z^{\prime }(t)$ en fonction de $f(t)$.
   b) Justifier que f est une solution de (E) si et seulement si $z^{\prime }=-az+a$.

2. 2

   On se propose de résoudre l'équation différentielle (E') : $z^{\prime }+az=a$
   a) Résoudre l'équation différentielle homogène : $z^{\prime }+az=0$.
   b) Déterminer une solution particulière $z_0$ de l'équation (E') sous la forme d'une fonction constante $p(t)=b$.
   c) En déduire une solution générale de (E').
   d) Justifier que, pour tout nombre réel positif $t$, on a : $f(t)=\frac{1}{9e^{-at}+1}$

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. 1-3

   1. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre des probabilités.
   Déterminer les nombres réels $x$, $y$ et $z$ indiqués sur l'arbre.

   

   2. a) Calculer la probabilité que le client achète une chemise en velours.
   b) Calculer la probabilité que le client achète un pantalon en lin.
   3. Montrer que la probabilité que le client achète du velours est 0,53.

2. 4

   • La chemise est vendue à 3 000 F l'unité.
   • Le pantalon en velours est vendu à 1 000 F l'unité, celui en lin ou bien en bazin à 2 000 F.
   a) On note $x_i$ la valeur possible en francs (F) du gain du vendeur et $p_i$ la probabilité de réalisation. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi du gain du vendeur en justifiant les réponses.

   Valeur $x_i$	3000	2000	1000
   Probabilité $p_i$

   b) Calculer l'espérance mathématique de la vente.
   c) Déterminer le gain en francs (F) que le vendeur peut espérer pour 150 articles vendus.

Exercice 3 · Problème · 10 points

1. A

   Partie A
   Soit g la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par : $g(x)=\frac{1}{2}{x}^2+1-\ln x$.
   1. On admet que la fonction g est dérivable sur $]0;+\infty [$ et g' sa fonction dérivée.
   a) Démontrer que pour tout $x$ élément de $]0;+\infty [$, $g^{\prime }(x)=\frac{x^2-1}{x}$.
   b) Justifier que :

   • Pour tout $x\in ]0;1[$, $g^{\prime }(x)<0$
   • Pour tout $x\in ]1;+\infty [$, $g^{\prime }(x)>0$

   2. a) Justifier que $g(1)$ est le minimum de g sur $]0;+\infty [$.
   b) En déduire que pour tout $x$ élément de $]0;+\infty [$, $g(x)>0$.

2. B.1

   Partie B
   On considère la fonction f définie sur $]0;+\infty [$ par : $f(x)=3-x-\frac{2\ln x}{x}$.
   Soit (C) la représentation graphique de f dans le plan rapporté à un repère orthogonal (O ; I ; J). Unités graphiques : OI = 2 cm et OJ = 1 cm
   1. a) Calculer la limite de f en 0 puis interpréter graphiquement le résultat.
   b) Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.
   c) Démontrer que la droite (D) d'équation $y=-x+3$ est une asymptote à (C) en $+\infty$.
   d) Étudier les positions relatives de (C) par rapport à (D).

3. B.2-3

   2. On admet que la fonction f est dérivable sur $]0;+\infty [$ et f' sa fonction dérivée.
   a) Démontrer que, pour tout $x$ élément de $]0;+\infty [$, $f^{\prime }(x)=\frac{-2g(x)}{x^2}$.
   b) En déduire les variations de f sur $]0;+\infty [$ puis dresser son tableau de variation.
   3. a) Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse 1.
   b) Tracer les droites (D) et (T) puis construire (C) dans le repère (O ; I ; J).

4. C

   Partie C
   On considère la fonction H définie sur $]0;+\infty [$ par : $H(x)=(\ln x{)}^2$.
   1. On admet que la fonction H est dérivable sur $]0;+\infty [$ et H' sa fonction dérivée.
   a) Déterminer $H^{\prime }(x)$ pour tout $x$ élément de $]0;+\infty [$.
   b) Justifier que pour tout $x$ élément de $]0;+\infty [$, $f(x)=3-x-H^{\prime }(x)$.
   2. En déduire une primitive F de f qui prend la valeur 2 en 1.