Sujet du BAC B 2020 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 5 points

1. 1

   a) On pose $y_i=\ln (z_i)$. Dresser le tableau de la série statistique $(x,y)$.
   (pour les valeurs de $y_i$, on arrondira les résultats à l'entier naturel le plus proche).
   b) Construire le nuage de points associé à la série double $(x;y)$ dans un repère orthogonal du plan.

   Échelle :

   en abscisse, 1 cm pour 1 million de F CFA ;

   en ordonnée, 1 cm pour 1 unité.
2. 2

   a) Calculer :

   • la variance V(X) de $x$ ;
   • la variance V(Y) de $y$ ;
   • la covariance Cov(X , Y) de $x$ et de $y$.
     b) Calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$ entre $x$ et $y$, puis interpréter.
3. 3

   a) Déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par méthode des moindres carrés.
   (On arrondira les résultats à l'ordre 4).
   b) Démontrer que : $z=e^{0,9231x+1,5845}$

4. 4

   On suppose que cette évolution se maintienne ; en utilisant la question 3., estimer le chiffre d'affaires en F CFA pour un montant publicitaire de 12 000 000 F CFA.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 4 points

1. 1

   Démontrer que $B_0=9600000$ F CFA.

2. 2

   Dans la suite, on note $B_n$ le bénéfice net réalisé par l'entreprise pendant l'année $2010+n$.
   Grâce à l'amélioration de la chaine de production, le « bénéfice net » a augmenté de 4% chaque année.
   a) Calculer le bénéfice net $B_1$ réalisé en 2011.
   b) Démontrer que la suite $(B_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
   c) Déterminer le bénéfice net de l'année 2020 si la tendance se maintient.
   d) En quelle année le bénéfice net dépassera pour la première fois 16 624 000 F CFA.

3. 3

   Calculer le bénéfice net que cette entreprise pourrait réaliser de 2010 à 2020.

Exercice 3 · PROBLÈME · 11 points

1. A.1

   Partie A
   Soit g la fonction définie sur IR par : $g(x)=1-2x+e^{2x}$
   On admet que g est dérivable sur IR et on note $g^{\prime }$ sa dérivée.
   a) Calculer pour tout réel $x$, $g^{\prime }(x)$.
   b) Étudier le signe de $g^{\prime }(x)$ suivant les valeurs de $x$ et en déduire le sens de variation de g.

2. A.2

   Démontrer que pour tout nombre réel $x$, $g(x)>0$.

3. B.1

   Partie B
   On considère la fonction $f$ définie sur IR par : $f(x)=x+2+x{e}^{-2x}$.
   et (C) sa représentation graphique dans un repère orthogonal (O, I, J) du plan.
   Unité graphique : OI = 2 cm ; OJ = 1 cm.
   Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$ puis interpréter graphiquement les résultats.

4. B.2

   On admet que $f$ est dérivable sur IR et on note $f^{\prime }$ sa fonction dérivée.
   a) Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout nombre réel $x$.
   b) Justifier que $\forall x\in$ IR, $f^{\prime }(x)=\frac{g(x)}{e^{2x}}$.
   c) En utilisant la Partie A, en déduire le sens de variation de $f$ puis dresser son tableau de variation.
   d) En déduire que pour tout $x$ élément de $]0;+\infty [$, $f(x)>0$.

5. B.3

   a) Démontrer que la droite (D) d'équation $y=x+2$ est asymptote à la courbe (C) en $+\infty$.
   b) Étudier la position relative de la courbe (C) par rapport à la droite (D).
   c) Construire l'asymptote (D) et la courbe (C) dans le repère (O, I, J)

6. B.4

   On considère la fonction F définie sur IR par : $F(x)=\frac{1}{2}{x}^2+2x-\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\right)e^{-2x}$.
   a) Vérifier que F est une primitive de $f$ sur IR.
   b) On désigne par $(\phi )$ la partie du plan délimitée par :

   • La courbe (C) ;
   • et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.
     Calculer l'aire A de $(\phi )$ en cm².