Sujet du BAC B 2015 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 5 points

1. 1-2

   1. Justifier que pour tout $x$ élément de $\mathbb{R}\setminus \{-1;1\}$ : $\frac{2}{1-x^2}=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}$.
   2. Calculer l'intégrale : $J={\int }_{\alpha }^{\frac{1}{2}}\frac{2}{1-x^2}dx$.

2. 3

   a) À l'aide d'une intégration par parties, calculer $I(\alpha )$.
   b) Calculer $\underset{\alpha \to 0}{\lim }I(\alpha )$.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. 1

   Paul lance trois fléchettes. Calculer :
   a) la probabilité $P_1$ pour qu'il atteigne chaque fois la case blanche ;
   b) la probabilité $P_2$ pour qu'il atteigne les cases orange, blanche et verte dans cet ordre ;
   c) la probabilité $P_3$ pour qu'il atteigne les cases orange, blanche et verte.

2. 2

   On choisit un des deux concurrents au hasard.
   La probabilité de choisir Paul est égale à $\frac{3}{4}$ et celle de choisir Marc vaut $\frac{1}{4}$.
   Un seul lancer est effectué.

   On note :

   A « la case blanche est atteinte » ;

   B : « Paul lance la fléchette » ;

   P(E) la probabilité de E ;

   $P_A(B)$ la probabilité de B si A est réalisé.

   a) Calculer $P(A\cap B)$ et $P(A\cap \overline{B})$.
   b) En déduire P(A).
   c) Calculer $P_A(B)$.

Exercice 3 · PROBLÈME · 10 points

1. A

   Partie A
   Soit la fonction g définie sur $]0;+\infty [$ par : $g(x)=x^2-1+\ln x$.
   1. On admet que g est dérivable sur $]0;+\infty [$ et g' est sa dérivée.
   a) Calculer $g^{\prime }(x)$.
   b) En déduire le sens de variation de g.
   2. a) Calculer g(1).
   b) Déduire des questions précédentes que : $\{\begin{array}{l}\forall x\in ]0;1[,g(x)<0\\ \forall x\in ]1;+\infty [,g(x)>0.\end{array}$

2. B.1-3

   Partie B
   On considère la fonction f définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=x+1-\frac{\ln x}{x}$ et $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J). Unité graphique : 2 cm.
   1. a) Calculer la limite de f en 0 puis interpréter graphiquement le résultat.
   b) Calculer la limite de f en $+\infty$.
   2. On admet que f est dérivable sur $]0;+\infty [$ et f' est sa dérivée.
   a) Démontrer que pour tout $x$ élément de $]0;+\infty [$, $f^{\prime }(x)=\frac{g(x)}{x^2}$.
   b) En déduire le sens de variation de f.
   c) Dresser le tableau de variation de f.
   3. a) Démontrer que la droite $(\Delta )$ d'équation $y=x+1$ est une asymptote à $(C_f)$ en $+\infty$.
   b) Étudier la position relative de $(C_f)$ par rapport à $(\Delta )$.

3. B.4-5

   4. Déterminer les coordonnées du point A de la courbe $(C_f)$ où la tangente (T) est parallèle à $(\Delta )$.
   5. Tracer $(\Delta )$ et (T) puis construire $(C_f)$.

4. C

   Partie C
   Soit $\beta$ un nombre réel strictement supérieur à 1.
   1. Calculer en cm², l'aire $\mathcal{A}(\beta )$ de la partie du plan délimitée par $(C_f)$, la droite $(\Delta )$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=\beta$.
   2. Pour quelle valeur de $\beta$, l'aire $\mathcal{A}(\beta )$ est égale à 8 cm² ?