Sujet du BAC A1 2005 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 5 points

1. 1

   Justifier que $q$ est égale à 1,2.

2. 2

   Calculer $h_0$.

3. 3

   Démontrer que : $\forall n\in \mathbb{N}$, $h_n=18,75.(1,2{)}^n$.

4. 4

   Au bout de combien de mois le chercheur constatera-t-il que la hauteur de son plant a dépassé 3 mètres ?

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. 1

   a) Démontrer que le nombre de codes possibles est 18 720.
   b) Déterminer le nombre de codes constitués uniquement de chiffres impairs et terminés par la lettre E.

2. 2

   Après avoir codé son système, le chef du service informatique a oublié une partie de son code. Il se souvient seulement que :

   - la lettre du code est une voyelle ;
   - le code contient un seul chiffre pair ;
   - aucun des chiffres du code n'est nul.

   a) Démontrer que le nombre de codes conformes aux informations précédentes est 1 440.
   b) L'informaticien frappe au hasard trois (3) chiffres non nuls et distincts dont un seul est pair et la lettre A.
   Calculer la probabilité que l'informaticien trouve le bon code. (Le résultat sera exprimé sous forme de fraction irréductible.)

Exercice 3 · 10 points

1. A.1

   A. On donne dans $\mathbb{R}$, le polynôme $P(x)=x^2+4x+3$.

   Résoudre l'équation : $P(x)=0$.

2. A.2

   Justifier que :

   $\forall x\in ]-\infty ;-3[\cup ]-1;+\infty [$ $P(x)>0$ ;
   $\forall x\in ]-3;-1[$ $P(x)<0$.

3. B.1

   B. On donne la fonction $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$

   $x\mapsto \frac{2x^2+3x}{2x+4}$.

   $(C)$ désigne la représentation graphique de f dans le repère orthonormé (O, I, J) ; (unité : 1 cm).

   Donner l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction f.

4. B.2

   a) Calculer les limites de $f(x)$ à gauche et à droite en $-2$.
   b) Justifier que la droite (Δ) d'équation $x=-2$ est asymptote à $(C)$.

5. B.3

   a) Démontrer que :

   $\forall x\in \mathbb{R}-\{-2\}$, $f(x)=x-\frac{1}{2}+\frac{1}{x+2}$.

   b) Justifier que la droite (D) d'équation $y=x-\frac{1}{2}$ est asymptote à $(C)$.
   c) Démontrer que le point $\Omega \left(-2;\frac{-5}{2}\right)$ est un centre de symétrie de la courbe $(C)$.

6. B.4

   a) Justifier que : $\forall x\in \mathbb{R}-\{-2\}$, $f^{\prime }(x)=\frac{P(x)}{(x+2{)}^2}$.
   b) Utiliser les questions 4) a) et A. 2) pour dresser le tableau de variation de la fonction f.

7. B.5

   a) Compléter le tableau de valeurs suivant :

   $x$	−1,75	−1,5	0	2	4	5
   Arrondi d'ordre 1 de $f(x)$	1,8

   b) Tracer les droites (Δ) et (D) dans le repère (O, I, J).
   c) Construire la courbe $(C)$.

8. C.1

   C. On considère la fonction $G:]-2,+\infty [\to \mathbb{R}$

   $x\mapsto \ln (x+2)-1$.

   Démontrer que G est une primitive sur $]-2;+\infty [$ de la fonction $x\mapsto \frac{1}{x+2}$.

9. C.2

   Déduire des questions C. 1) et B.3.a), une primitive F de la fonction f sur $]-2;+\infty [$.

10. C.3

    Calculer l'aire $A$ en cm² de la portion du plan limitée par (OI), $(C)$ et les droites d'équations respectives $x=2$ et $x=0$.