Sujet du BAC G2 2024 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 5 points

1. 1

   a) Vérifier que $\frac{1}{2}$ est un zéro de P.
   b) Déterminer les nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que $P(x)=(2x-1)(a{x}^2+bx+c)$.

2. 2

   a) Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'équation $P(x)=0$.
   b) Étudier le signe de $P(x)$ suivant les valeurs de $x$.

3. 3

   A l'aide de la question 2.a), déduire la résolution dans $\mathbb{R}$, de l'équation :
   (E) : $2(\ln x{)}^3+7(\ln x{)}^2=46\ln x-21$

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. 1

   Construire le diagramme de Venn associé à cette situation.

2. 2

   Quelle est la probabilité que le gagnant soit une personne :
   a) connaissant au moins l'un de ces trois pays ?
   b) ne connaissant aucun de ces trois pays ?
   c) connaissant exactement deux de ces trois pays ?

Exercice 3 · PROBLÈME · 10 points

1. A.1

   Partie A
   Soit g la fonction dérivable sur [0; 60] et définie par : $g(x)=\frac{x-8}{10(x+2)}$
   Étudier les variations de la fonction g et dresser son tableau de variation.

2. A.2

   a) Résoudre dans l'intervalle [0; 60] l'équation $g(x)=0$.
   b) Justifier que : $\{\begin{array}{ll}\text{Pour tout nombre reˊel }x\text{ eˊleˊment de }[0;8[,& g(x)<0;\\ \text{Pour tout nombre reˊel }x\text{ eˊleˊment de }]8;60],& g(x)>0.\end{array}$

3. B.1

   Partie B
   On considère la fonction $f$ définie sur [0; 60] par : $f(x)=\frac{1}{10}x-1-\ln (x+2)$.
   On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J).
   Unités graphiques :

   En abscisse : 1 cm représente 4 unités ;
   En ordonnée : 1 cm représente 1 unité.

   On admet que la fonction $f$ est dérivable sur [0; 60] et on note $f^{\prime }$ sa dérivée.
   a) Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ élément de [0; 60], $f^{\prime }(x)=g(x)$.
   b) Étudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variation.

4. B.2

   Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ tel que $49,3<\alpha <49,4$.

5. B.3

   Construire la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère $(O;I;J)$.
   (on prendra : $\alpha =49,4$).

6. C.1-2

   Partie C
   Une entreprise produit quotidiennement $x$ postes téléviseurs LCD $(0<x\le 60)$.
   Pour un coût total C de production, exprimé en millions de FCFA, $C(x)=\frac{2}{10}x+1+\ln (x+2)$.
   Chaque poste téléviseur LCD est vendu à 300 000 FCFA.
   On appelle $R(x)$, exprimée en millions de FCFA, la recette totale résultant de la vente de $x$ postes téléviseurs LCD.

   1. Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$.
   2. Démontrer que $B(x)$, le bénéfice réalisé en millions de FCFA par l'entreprise est défini par :
      $B(x)=\frac{1}{10}x-1-\ln (x+2)$.
7. C.3-4
   3. Déterminer le nombre minimal de postes téléviseurs LCD à fabriquer par jour pour rentabiliser l'entreprise.
   4. Pour quelle production quotidienne de postes téléviseurs LCD, la perte de l'entreprise est-elle maximale ?