Sujet du BAC G2 2022 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 4 points

1. 1-3
   1. Vérifier que : $P(2)=0$.
   2. Montrer que : $P(x)=(x-2)(1-x)(1+x)$.
   3. Résoudre l'équation : $P(x)=0$.
2. 4

   Étudier le signe de P.

3. 5

   Résoudre dans $\mathbb{R}$, chacune des équations :
   a) $-(\ln x{)}^3+2(\ln x{)}^2+\ln x-2=0$ ;
   b) $-e^{3x}+2e^{2x}+e^x-2=0$.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. 1

   Représenter graphiquement le nuage de points associé à la série double $(x_i,y_i)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.

   Unités graphiques :

   en abscisse, 1 cm pour 1 unité de rang ;

   en ordonnée, 1 cm pour 50 km.
2. 2-3

   N.B. : Tous les résultats des questions à suivre seront arrondis au $10^{-2}$ près par excès.
   2. Calculer les coordonnées du point moyen G.
   3. Calculer
   a) La variance V(X) de X.
   b) La variance V(Y) de Y.
   c) La covariance Cov(X,Y) de X et Y.

3. 4

   a) Calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$ entre X et Y.
   b) Un ajustement linéaire est-il possible ?

4. 5-6
   5. Déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$.
   6. En supposant la tendance maintenue, estimer l'autonomie d'une voiture électrique en 2022.

Exercice 3 · PROBLÈME · 11 points

1. A.1

   Partie A
   Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=\frac{x-1+2e^x}{e^x}$.
   a) Calculer les limites de g en $+\infty$.
   b) Démontrer que pour tout $x$ élément de $\mathbb{R}$, $g(x)=x{e}^{-x}-e^{-x}+2$.
   c) Calculer les limites de g en $-\infty$.

2. A.2

   On admet que g est dérivable sur $\mathbb{R}$ et g' sa fonction dérivée.
   a) Démontrer que tout $x$ élément de $\mathbb{R}$, $g^{\prime }(x)=\frac{2-x}{e^x}$.
   b) Étudier les variations de g sur $\mathbb{R}$.
   c) Dresser le tableau de variation de $g$.

3. A.3

   a) Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha \in ]-\infty ;2[$.
   b) Montrer que $\alpha \in ]-1;0[$.
   c) Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.

4. A.4

   Démontrer que : pour tout $x\in ]-\infty ;\alpha [$, $g(x)<0$ ;
   pour tout $x\in ]\alpha ;+\infty [$, $g(x)>0$.

5. B.1

   Partie B
   On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=2x+1-\frac{x}{e^x}$.
   Soit $(\mathcal{C})$ la représentation graphique de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O, I, J) (unité graphique : 1 cm).
   a) Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.
   b) Démontrer que tout $x$ élément de $\mathbb{R}$, $f(x)=x\left(2+\frac{1}{x}-e^{-x}\right)$.
   c) Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$.

6. B.2

   On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f^{\prime }$ sa fonction dérivée.
   a) Démontrer que, pour tout $x$ élément de $\mathbb{R}$, $f^{\prime }(x)=g(x)$.
   b) En déduire les variations de $f$ puis dresser son tableau de variation.

7. B.3

   a) Démontrer que la droite (D) d'équation $y=2x+1$ une asymptote à $(\mathcal{C})$ en $+\infty$.
   b) Étudier les positions relatives de $(\mathcal{C})$ par rapport à (D).

8. B.4-6
   4. Déterminer une équation de la tangente (T) à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse 0.
   5. Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$, puis interpréter graphiquement le résultat.
   6. Tracer (D) et (T) puis construire la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère (O, I, J).