Sujet du BAC G2 2021 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 4 points

1. 1

   Calculer pour :
   a) Le contrat 1, $A_1$, $A_2$, $A_3$.
   b) Le contrat 2, $B_1$, $B_2$, $B_3$.

2. 2-3
   2. Calculer $A_n$ et $B_n$ en fonction de $n$.
   3. Quel sera le salaire mensuel de Mlle Zahui à la 7ᵉ année de travail pour chaque contrat.
3. 4
   On pose :

   $S_A=12(A_0+A_1+\cdots +A_{20})$ ;

   $S_B=12(B_0+B_1+\cdots +B_{20})$.

   a) Que représente $S_A$ et $S_B$ ?
   b) Calculer $S_A$ et $S_B$.
   c) Quel est le contrat le plus avantageux pour Mlle Zahui ?

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 4 points

1. 1

   On sème une graine prise au hasard dans le mélange.
   a) Déterminer la probabilité que ce soit une graine de type A.
   b) Déterminer la probabilité que ce soit une graine de type A et que celle-ci germe correctement.
   c) Déterminer la probabilité que la graine germe correctement.
   d) Déterminer la probabilité que ce soit une graine de type C qui ne germe pas correctement.

2. 2

   On sème une graine du mélange et elle germe correctement.
   Quelle est la probabilité qu'elle soit de type A ?

Exercice 3 · PROBLÈME · 12 points

1. A.1

   Partie A
   Soit g la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par : $g(x)=-1+\frac{1}{x}-\ln x$.
   Calculer les limites de g en 0 et en $+\infty$.

2. A.2

   On admet que la fonction g est dérivable sur $]0;+\infty [$ et g' sa dérivée.
   a) Déterminer $g^{\prime }(x)$, pour tout $x$ élément de $]0;+\infty [$.
   b) Étudier les variations de g sur $]0;+\infty [$.
   c) Dresser le tableau de variation de g.

3. A.3

   a) Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $]0;+\infty [$.
   b) Calculer $g(1)$ puis en déduire la valeur de $\alpha$.

4. A.4

   Justifier que : pour tout $x\in ]0;1[$, $g(x)>0$ ;
   pour tout $x\in ]1;+\infty [$, $g(x)<0$.

5. B.1

   Partie B
   On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par : $f(x)=(1-x)\ln x$.
   Soit $(\mathcal{C})$ la représentation graphique de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O, I, J) (unité graphique 1 cm).
   a) Calculer la limite de $f$ en 0 puis interpréter le résultat.
   b) Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$, puis interpréter graphiquement le résultat.

6. B.2-3
   2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty [$ et $f^{\prime }$ sa dérivée.
      a) Démontrer que, pour tout $x$ élément de $]0;+\infty [$, $f^{\prime }(x)=g(x)$.
      b) Étudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variation.
   3. Démontrer que pour tout $x\in ]0;+\infty [$, $f(x)\le 0$.
7. B.4

   Construire la courbe $(\mathcal{C})$.

8. C

   Partie C
   On considère la fonction F définie sur $]0;+\infty [$ par : $F(x)=x\ln x-x-\frac{1}{2}{x}^2\ln x+\frac{1}{4}{x}^2$.

   1. Vérifier que F est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty [$.
   2. Calculer $I={\int }_1^2(-f(x))dx$.
   3. En déduire la valeur exacte en cm² de l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan délimitée par $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$.