Sujet du BAC G2 2020 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 4 points

1. 1

   Déterminer le nombre d'amortissements à payer pour rembourser cette dette.

2. 2

   Justifier que la raison $r$ de la suite arithmétique est égale à 200 000 F CFA.

3. 3

   Déterminer le montant du premier amortissement $A_1$.

4. 4

   Reproduire et compléter le tableau suivant :

   Rang de l'année	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
   Montant de l'amortissement

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. 1

   a) Construire le nuage de points associé à la série double $(x,y)$ dans un repère orthogonal du plan.
   Unités graphiques : En abscisse, 1 cm pour 1 unité de rang ;
   En ordonnée, 2 cm pour 50 milliards de F CFA.
   N.B. : Prendre pour origine le point de coordonnées (1 ; 150)
   b) Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage de points et le placer dans le nuage.

2. 2

   a) Calculer :
   - la variance V(X) de $x$ ;
   - la variance V(Y) de $y$ ;
   - la covariance Cov(X , Y) de $x$ et de $y$.
   b) En déduire le coefficient de corrélation linéaire $r$ entre $x$ et $y$ .
   c) En déduire qu'un ajustement linéaire est justifié.

3. 3

   a) Démontrer qu'une équation de la droite de régression de $y$ en $x$, par méthode des moindres carrés est $y=-21,90x+404,9$. (Les coefficients seront arrondis à l'unité)
   b) Déterminer une estimation des ressources financières annuelles qui ont été générées par la production du bois en 2018.

Exercice 3 · PROBLÈME · 11 points

1. A.1

   Partie A
   On considère la fonction g définie sur IR par : $g(x)=2x-2+e^x$
   On admet que g est dérivable sur IR et g' sa fonction dérivée.
   1. a) Calculer les limites de g en $-\infty$ et en $+\infty$.
   b) Calculer $g^{\prime }(x)$ pour tout nombre réel $x$.
   c) En déduire le sens de variation de g et dresser son tableau de variation.

2. A.2

   a) Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans IR.
   b) En déduire que $\alpha$ appartient $]0,31;0,32[$.
   c) Déduire des questions précédentes que :

   ▪ $\forall x\in ]-\infty ;\alpha [$, $g(x)<0$ ;
   ▪ $\forall x\in ]\alpha ;+\infty [$, $g(x)>0$.

3. B.1

   Partie B
   On définit la fonction $f$ de IR vers IR par : $f(x)=x{e}^{-x}-\frac{1}{2}x+1$.
   $f^{\prime }$ est la fonction dérivée de f sur IR et (C) sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O, I, J). unité graphique : 2 cm.
   1. a) Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
   b) Démontrer que la droite (∆) d'équation $y=-\frac{1}{2}x+1$ est asymptote à la courbe (C) en $+\infty$
   c) Étudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite (∆).

4. B.2

   a) Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout nombre réel $x$.
   b) Justifier que : $\forall x\in$ IR, $f^{\prime }(x)=\frac{g(x)}{2e^x}$.
   c) En déduire le tableau de variation de $f$.

5. B.3

   a) Reproduire et compléter le tableau suivant.

   $x$	-1,5	-1	-0,68	0	0,30	1	2,43	4
   $f(x)$

   N.B. : Arrondir $f(x)$ à $10^{-1}$ près.
   b) Construire la courbe (C) et son asymptote dans le repère (O, I, J).

6. B.4

   On désigne par $(\phi )$ le domaine du plan délimité par :
   - la courbe (C) ;
   - la droite (∆) ;
   - et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.
   Calculer l'aire A du domaine $(\phi )$ en cm².