Sujet du BAC G2 2008 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 4 points

1. 1-2a

   Combien de possibilités de choix y a-t-il ?
   2) En fait la liste des 15 sélectionnés est composée de :
   • 2 Gardiens
   • 5 Défenseurs
   • 5 Milieux de terrain
   • 3 Attaquants
   a. Combien de possibilités de listes de 15 joueurs peut-il constituer ?

2. 2b

   b. Sur le terrain, l'entraîneur aligne 11 joueurs selon la composition suivante :
   • 1 Gardien
   • 4 Défenseurs
   • 3 Milieux de terrain
   • 3 Attaquants
   NB : (Cette disposition est appelée le 4-3-3 dans le langage footballistique.) Les trois milieux de terrain sont disposés sur l'axe central de la manière suivante : le premier à gauche, le second au centre et le troisième à droite.
   À partir des 5 milieux de terrain dont il dispose : Combien de possibilités y a-t-il de les disposer sur l'axe central ?

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 6 points

1. 1-3

   Représenter le nuage de points $M(x_i;y_i)$ dans un repère orthogonal.
   Unité graphique : 1 cm pour deux personnes en abscisses
   1 cm pour 10 tonnes en ordonnées
   2) Déterminer les coordonnées du point moyen G sur le graphique
   3) a) Calculer $V(x)$ et $V(y)$ les variances respectives des séries x et y
   b) Calculer $\mathrm{cov}(X;Y)$ covariance de la série double de caractère x et y

2. 4-5

   a) Déterminer l'arrondi d'ordre 2 du coefficient de corrélation linéaire de cette série double.
   b. Vérifier que la valeur trouvée justifie un ajustement linéaire du nuage de points.
   5) a. Prouver que la droite de régression de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés a pour équation $y=4,92x-6,78$ (les coefficients sont arrondis à 0,01 près)
   b) Tracer cette droite dans le repère précédent.

3. 6-7

   Pour l'année 2005 la coopérative a enregistré l'arrivée de quatre nouveaux membres.
   En se référant à l'ajustement réalisé à la question 5a quelle devrait être la production de cette coopérative à la fin de l'année 2005.
   7) En fait la production en 2005 de cette coopérative a été de 170 tonnes. Le prix du kg de cacao était de 425 F le kilogramme.
   a. Quel est le chiffre d'affaires de cette coopérative pour l'année 2005 ?
   b. 75 % de ce chiffre d'affaires est partagé aux coopérateurs. Quelle est en moyenne la part de chacun ?

Exercice 3 · PROBLÈME · 10 points

1. A

   PARTIE A : PRÉLIMINAIRE
   Soit g la fonction définie et dérivable sur $]0;+\infty [$ par : $g(x)=(x+1)-\ln x$

   1. a. Soit g' la fonction dérivée de g ; calculer $g^{\prime }(x)$
      b. Dresser le tableau de variation de la fonction g (On ne demande pas de calculer les limites de g aux bornes de son ensemble de définition)
   2. a. Justifier que g(1) est le minimum de g sur $]0;+\infty [$
      b. Déduire de la question précédente que $\forall x\in ]0;+\infty [$, $g(x)>0$
2. B.1-2

   PARTIE B : ÉTUDE ET REPRÉSENTATION GRAPHIQUE
   Soit la fonction f définie et dérivable sur $]0;+\infty [$ telle que : $f(x)=\left(\frac{x+1}{x}\right)\ln x-1$. On désigne par $(C_f)$ la courbe représentative de la fonction f dans le repère orthonormé (O, I, J) d'unité 2 cm.

   1. a. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$. Donner une interprétation graphique du résultat. b. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$
   2. On note f' la dérivée de la fonction f
      a. Calculer $f^{\prime }(x)$ et prouver que $\forall x\in ]0;+\infty [$, $f^{\prime }(x)=\frac{g(x)}{x^2}$
      b. Dresser le tableau de variation de la fonction f
3. B.3-5

   A. Justifier que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $]0;+\infty [$
   b. Prouver que $\alpha \in ]1,9;2[$
   4) a. Déterminer l'ordonnée du point A de $(C_f)$ d'abscisse 1
   b. Déterminer une équation de la tangente (T) en A à $(C_f)$
   5) recopier puis compléter le tableau de valeurs suivantes :

   $x$	2	3	4	5	6
   Arrondi d'ordre 1 de $f(x)$

4. C

   PARTIE C

   1. Prouver que la fonction F définie par $F(x)=x\ln x+\frac{1}{2}(\ln x{)}^2-2x$ est une primitive de f sur $]0;+\infty [$
   2. Calculer en cm² la valeur exacte, puis l'arrondi d'ordre 2 de l'aire de la partie du plan délimitée par : la courbe $(C_f)$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=2$ et $x=4$