Sujet du BAC G2 2007 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 4 points

1. 1-5

   Déterminer le nombre total de trajets qu'il peut établir
   2 – Combien y a-t-il de trajets ayant la Côte d'Ivoire comme premier pays d'escale ?
   3- Combien y a-t-il de trajets pour lesquels l'escale en Côte d'Ivoire a lieu avant celle du Ghana ?
   4- Combien y a-t-il de trajets pour lesquels la première escale a lieu dans l'un des trois pays de l'Afrique de l'Ouest ?
   5- Pour des raisons économiques le responsable décide de proposer un trajet dont les escales dans les pays de l'Afrique de l'Ouest ont lieu avant celles des autres pays. Combien de trajets peut-il établir ?

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 6 points

1. 1-2

   Construire le nuage des points $M_i$ correspondant à cette série statistique.
   En abscisse 1 cm ↔ 4 personnes ; en ordonnées 1 cm ↔ 20 patients
   2- Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et le placer dans le repère

2. 3-4

   Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série double et vérifier qu'un ajustement affine est justifié.
   4- Justifier que la droite de régression de $y$ en $x$ a pour équation $y=4,6x+1$ (On utilisera l'arrondi d'ordre 2 pour les calculs).

3. 5-6

   L'effectif du personnel soignant d'une clinique est égal à 45. À combien peut-on estimer le nombre moyen de patients de cette clinique ?
   6- Sachant qu'en moyenne chaque patient rapporte 15 000 F à la clinique et que les charges totales de la clinique s'élèvent à 60 % du chiffre d'affaires, calculer le bénéfice moyen net dans le mois d'une clinique ayant reçu 208 patients.

Exercice 3 · Problème · 10 points

1. A

   Partie A
   On considère la fonction g définie sur $[0;+\infty [$ par $g(x)=1-x{e}^{-x}$
   1- a) Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)$ (On remarquera que $x{e}^{-x}=\frac{x}{e^x}$)
   b) Soit g' la fonction dérivée de la fonction g. Calculer et étudier pour tout $x$ élément de $[0;+\infty [$ le signe de $g^{\prime }(x)$
   c) Établir le tableau de variation de la fonction g.
   2- En utilisant le tableau de variation de la fonction g, démontrer que $\forall x\in [0;+\infty [$, $g(x)>0$

2. B.1-2

   Partie B
   Soit f la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=e^{-x}+\ln x$
   On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O, I, J) d'unité graphique 4 cm.
   1- a) Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$ et interpréter graphiquement le résultat obtenu.
   b) Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$
   2- Soit f' la fonction dérivée de f.
   a) Calculer pour tout $x\in ]0;+\infty [$, $f^{\prime }(x)$ et justifier que : $\forall x\in ]0;+\infty [$, $f^{\prime }(x)=\frac{g(x)}{x}$
   b) En utilisant la question 2 de la partie A, déterminer le signe de $f^{\prime }(x)$
   c) Établir le tableau de variation de la fonction f.

3. B.3-4

   a) Démontrer que l'équation $x\in ]0;+\infty [$, $f(x)=0$ admet une solution unique qu'on notera $\alpha$.
   b) Justifier que $0,5<\alpha <0,6$
   4- a) Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant

   $x$	0,5	1	1,5	2	2,5	3
   $f(x)$

   b) Construire la courbe (C) dans le repère (O, I, J).

4. C

   Partie C
   Soit G la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $G(x)=x\ln x-x$
   a) Calculer $G^{\prime }(x)$
   b) Déterminer une primitive F de f sur $]0;+\infty [$
   2) calculer en cm² la valeur exacte puis l'arrondi d'ordre 1 de l'aire S de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe (C) et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$.