Sujet du BAC G2 2006 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 4 points

1. 1-2

   Calculer $P(3)$ et en déduire une factorisation de $P(x)$ en produit de facteurs de polynômes de degré 1
   2- Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $P(x)=0$

2. 3

   Résoudre dans $\mathbb{R}$
   a) l'équation $(2e^x-1)\left(e^x-\frac{2}{3}\right)(e^x-3)=0$
   b) l'inéquation $(2e^x-1)\left(e^x-\frac{2}{3}\right)(e^x-3)\le 0$

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. 1

   a) Représenter dans un repère orthonormé le nuage de points associé à cette série statistique. Échelle : Abscisse 1 cm pour 4 000 F
   Ordonnée 1 cm pour 50 entreprises.
   b) Calculer les coordonnées du point moyen G.

2. 2

   a) Calculer le coefficient de corrélation linéaire r entre X et Y (donner sa valeur à $10^{-2}$ près par défaut). Un ajustement affine est-il justifié ?
   b) Déterminer une équation de la droite de régression de Y en X par la méthode des moindres carrés

3. 3

   Les frais de conception du logiciel se sont élevés à 500 000 F, les frais variables sont supposés négligeables. En admettant que pour un nombre Y d'entreprises disposées à acheter le logiciel au prix x, le bénéfice réalisé est
   $B(x)=-14,15x^2+599,79x-500$
   a) Déterminer le prix permettant d'obtenir le bénéfice maximum.
   b) Estimer alors le nombre d'entreprises ayant acheté le logiciel à ce prix.

Exercice 3 · 2 points

1. 1-2

   Justifier qu'ils peuvent réaliser 230 300 groupes d'étude différents.
   2- Parmi ces 50 élèves, il y a 20 filles.
   Combien de groupes d'étude différents comportant au moins 2 filles peut-on former ?

Exercice 4 · 9 points

1. A
   Soit la fonction numérique g définie sur $]0;+\infty [$ par $g(x)=x^2+2-2\ln x$
   1- Étudier les variations de g et dresser son tableau de variations.
   2- Calculer g (1).
   3- Déduire du tableau de variation de g, le signe de g(x) suivant les valeurs de $x$.

2. B.1-2

   B
   Soit la fonction numérique f définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=\frac{x}{2}+1+\frac{\ln x}{x}$
   On note (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormal (O, I, J) (unité graphique 2 cm.)
   1- a) Déterminer la limite de f en 0 et interpréter graphiquement le résultat.
   b) Déterminer la limite de f en $+\infty$
   2- a) Démontrer que la droite (D) d'équation $y=\frac{x}{2}+1$ est asymptote à (C)
   b) Étudier la position de (C) par rapport à (D)

3. B.3

   a) Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout nombre réel $x\in ]0;+\infty [$ et démontrer que $f^{\prime }(x)=\frac{g(x)}{2x^2}$
   b) en déduire le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.
   c) Démontrer que l'abscisse du point A de (C) où la tangente est parallèle à (D) est égale à e

4. B.4-5

   Démontrer que la courbe (C) coupe l'axe des abscisses en un unique point B dont l'abscisse notée $\alpha$ appartient à l'intervalle $]0,51;0,52[$. Donner une valeur approchée par défaut de $\alpha$ à $10^{-2}$ près
   5- Construire (C) et (D) ; on fera figurer les points A et B sur la courbe.