Sujet du BAC G2 2005 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 4 points

1. 1-3

   Un délégué compose son menu en choisissant au hasard une entrée, un plat de résistance et un dessert.
   Combien a-t-il de façons de composer son menu sans limitation de budget ?
   2- Un délégué africain a un budget maximum de 21 euros par repas.
   De combien de façons possibles peut-il composer son menu ?
   3- Un délégué qui veut faire des économies a plafonné son budget à 18 euros par repas.
   De combien de façons peut-il composer son menu ?

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. 1

   Reproduire, puis compléter ce tableau en ajoutant la ligne $y_i=\ln (z_i)$ et la ligne du rang $x_i$ de l'année (donner l'arrondi d'ordre 3 de $y_i$).

2. 2

   Calculer :
   a) La variance de X et la variance de Y ;
   b) La covariance de X et Y
   c) Le coefficient de corrélation linéaire r entre X et Y. La valeur de r justifie-t-elle un ajustement affine ?

3. 3-4

   Déterminer par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression de X en Y.
   4- L'OSER estime que la construction de cette passerelle ne se justifie que si le nombre des piétons qui traversent le boulevard atteint 16 165. À partir de quelle année peut-on construire cette passerelle si l'évolution du nombre de piétons se maintient ?

Exercice 3 · 11 points

1. A.1-3

   Partie A
   Soit f la fonction définie de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ par $f(x)=x+1+\ln x$
   1- Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de f.
   2- Calculer les limites de f en 0 et en $+\infty$
   3- Étudier le sens de variation de f sur $D_f$ et dresser son tableau de variation.

2. A.4

   a) Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$
   b) calculer $f(0,2)$ et $f(0,3)$ ; en déduire que $\alpha \in ]0,2;0,3[$
   c) Déduire de ce qui précède le signe de $f(x)$

3. B.1-3

   Partie B
   Soit g la fonction $g(x)=x^2+1+2x\ln x$
   On désigne par (C) la courbe de g dans un repère orthogonal (O, I, J) d'unités graphiques OI = 4 cm et OJ = 2 cm
   1- Déterminer l'ensemble de définition $D_g$ de g.
   2- Calculer la limite de g en 0 et la limite de g en $+\infty$.
   3- a) Sachant que g est dérivable sur $D_g$, calculer $g^{\prime }(x)$ pour tout $x$ élément de $D_g$.
   b) Démontrer que $g^{\prime }(x)=2f(x)$ pour tout $x$ élément de $D_g$.
   c) En déduire le tableau de variation de g.

4. B.4

   a) Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse 1.
   b) Tracer (C) et (T) dans le repère (O, I, J)

5. B.5

   a) Soit h la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par : $h(x)=x^2\ln x+\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x$
   Démontrer que h est une primitive de g sur $]0;+\infty [$
   b) Soit S la partie du plan limitée par la courbe (C), la droite (OI) et les droites d'équations $x=\frac{1}{2}$ et $x=1$. Calculer l'aire A en cm²