Sujet du BAC G2 2003 de mathématiques (2e session), avec corrigé

Exercice 1 · 4 points

1. 1

   Vérifier que $P(1)=0$
   b) Écrire $P(x)$ en produit de facteurs de polynômes de degré 1,
   c) En déduire l'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ de l'inéquation $P(x)>0$

2. 2

   Utiliser les résultats de la question (1) pour résoudre dans $\mathbb{R}$ :
   a) L'équation (E) : $2{\ln }^{3}x+3{\ln }^{2}x-2\ln x-3=0$
   b) L'inéquation : (I) : $2{\ln }^{3}x+3{\ln }^{2}x-2\ln x-3>0$

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 3 points

1. 1-2

   Construire le diagramme de Venn résumant les résultats du bilan de participation des élèves à la kermesse.
   2- Déterminer le nombre d'élèves ayant participé uniquement.
   a) au stand A ;
   b) au stand B ;
   c) au stand C ;

2. 3-4
   2. Combien d'élèves ont participé exactement à deux stands ?
   3. Combien d'élèves n'ont pas participé à la kermesse sachant que l'effectif de l'école est de 200 élèves ?

Exercice 3 · 5 points

1. 1-2

   Représenter dans un repère orthonormé le nuage de points de la série statistique double
   On prendra : En abscisses 1 cm pour 2 ha et en ordonnées 1 cm pour 4 tonnes.
   2- Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et le placer dans le repère

2. 3-4

   Calculer le coefficient de corrélation linéaire r entre X et Y. La valeur trouvée justifie-t-elle un ajustement affine ?
   4- Déterminer une équation de la droite de régression de Y en X et la représenter dans le repère

3. 5

   Un neuvième planteur a exploité une superficie de 22 ha. Selon l'ajustement précédent, à combien peut-on estimer sa production ?

Exercice 4 · 8 points

1. 1.1-2

   1ᵉʳᵉ Partie
   Soit g la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par : $g(x)=\ln x+x-3$
   1- Calculer la limite de g en $+\infty$ et la limite de g à droite en 0
   2- On admet que g est dérivable sur $]0;+\infty [$
   a) calculer $g^{\prime }(x)$ pour tout nombre réel $x\in ]0;+\infty [$
   b) déterminer les variations de g et dresser son tableau de variation.

2. 1.3

   a) Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique comprise entre 2,20 et 2,21 que l'on notera $\alpha$
   b) Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.

3. 2.1-2

   2ème Partie
   On considère la fonction f définie sur $]0;+\infty [$ par : $f(x)=\left(1-\frac{1}{x}\right)(\ln x-2)$. On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O, I, J). Unité graphique : 4 cm
   1. déterminer les limites de f à droite en 0 et en $+\infty$
   2. On admet que f est dérivable sur $]0;+\infty [$
   a) calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout nombre réel $x$ strictement positif et établir que : $f^{\prime }(x)=\frac{g(x)}{x^2}$
   b) en déduire le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.

4. 2.3-4

   Démontrer que $f(\alpha )=-\frac{(\alpha -1{)}^2}{\alpha }$
   4) on pose $\alpha =2,2$
   a) recopier et compléter le tableau ci-dessous :

   $x$	0,25	0,5	1	2,2	4	$e^2$
   Arrondi d'ordre 2 de $f(x)$