Sujet du BAC G2 2002 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 4 points

1. 1

   a) Résoudre dans ${\mathbb{R}}^2$ le système (S)
   b) Déduire de 1 a) la résolution du système suivant : $(S_1)\{\begin{array}{l}{e}^x=e^{(5-y)}\\ e^{3x}=e^{(y-1)}\end{array}$

2. 2

   On pose $A=]-\infty ;3[$ ; $B=]-1;+\infty [$ et on considère le système suivant
   $(S_2)$ : $(x,y)\in A\times B$, $\{\begin{array}{l}\ln [(3-x)(y+1)]=5\\ \ln \left[\frac{(3-x{)}^3}{y+1}\right]=-1\end{array}$
   a) En utilisant les propriétés algébriques de la fonction logarithme, écrire le système $(S_2)$ sous la même forme que le système (S)
   b) Déduire de la question 1 - a) la résolution du système $(S_2)$.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 3 points

1. 1-3

   1ᵉʳ cas : il n'y a pas de poste à pourvoir et il y a 3 personnes exactement dans le comité.
   2ᵉᵐᵉ cas : il y a 3 postes à pourvoir avec la possibilité de cumul de postes
   3ᵉᵐᵉ cas : Il y a 3 postes à pourvoir sans possibilité de cumul de postes.

Exercice 3 · 5 points

1. 1

   On pose $y_i=\ln (p_i)$. Calculer les valeurs de y correspondant aux observations (on prendra les arrondis d'ordre 3)
   En déduire la série statistique double de caractère (X, Y) où X désigne le rang de l'année.

2. 2

   Calculer :
   a) Les moyennes $\overline{X}$ et $\overline{Y}$
   b) Les variances $V(X)$, $V(Y)$ et la covariance $\mathrm{COV}(X,Y)$
   En déduire le coefficient de corrélation linéaire entre X et Y. La valeur trouvée justifie-t-elle un ajustement affine ?

3. 3

   a) Déterminer par la méthode des moindres carrés une équation de la droite de régression (D) de Y en X.
   b) En supposant la même évolution du nombre de passagers, donner une estimation pour l'année 2002.

Exercice 4 · 8 points

1. A

   Partie A
   Soit la fonction numérique g définie sur $]0;+\infty [$ par $g(x)=1-x^2-\ln x$

   1. Calculer $g(1)$
   2. Etudier les variations de g
   3. Déduire du tableau de variation de g le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$
2. B.1-2

   Partie B
   Soit f la fonction numérique définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=\frac{x^2-\ln x}{x}$
   On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (unité graphique : 2 cm)
   1- a) Déterminer la limite de f en 0 et interpréter graphiquement le résultat.
   b) déterminer la limite de f en $+\infty$
   2- a) démontrer que la droite (D) d'équation $y=x$ est asymptote à (C).
   b) Etudier la position de (C) par rapport à (D).

3. B.3

   a) Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout nombre réel $x$ et démontrer que, pour tout nombre réel x strictement positif, $f^{\prime }(x)=\frac{-g(x)}{x^2}$
   b) En déduire le sens de variation de f et dresser son tableau de variation

4. B.5-6

   Ecrire une équation de la tangente (T) de la courbe (C) au point d'abscisse e
   6) Représenter graphiquement (C), (D) et (T) dans un repère (O, I, J)