Sujet du BAC E 2026 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 3 points

1. 1. 1. Le barycentre des points pondérés (A,1) ; (B, 2) et (C, 1) appartient à la médiatrice du segment …

      1. A[AB]
      2. B[AC]
      3. C[BC]

   2. 2. L'ensemble des points M du plan tel que $\frac{AM}{BM}=1$ est …

      1. ALe cercle de diamètre [AB]
      2. BLa médiatrice de [AB]
      3. CLa droite (AB)

   3. 3. L'ensemble des points M du plan tel que $\mathrm{mes}(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM})=k\pi$ ; avec $k\in \mathbb{Z}$ est …

      1. ALa droite (AB) privée des points A et B
      2. BLe cercle de diamètre [AB] privé des points A et B
      3. CLe segment [AB] privé des points A et B

   4. 4. La composée $r_{(A,\frac{\pi }{3})}\circ r_{(B,-\frac{\pi }{3})}$ est la translation de vecteur …

      1. A$\overrightarrow{BC}$
      2. B$\overrightarrow{AB}$
      3. C$\overrightarrow{BA}$

   5. 5. La composée $r_{(A,\frac{\pi }{3})}\circ r_{(B,\frac{\pi }{3})}$ est …

      1. A$r_{(O,\frac{2\pi }{3})}$
      2. B$r_{(O,-\frac{2\pi }{3})}$
      3. C$r_{(I,\frac{2\pi }{3})}$

   6. 6. La composée $r_{(C,\frac{\pi }{3})}\circ t_{\overrightarrow{BC}}$ est …

      1. A$r_{(A,\frac{\pi }{3})}$
      2. B$t_{\overrightarrow{2AC}}$
      3. C$r_{(B,\frac{\pi }{3})}$

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. P1.1

   Partie 1
   On considère l'équation diophantienne linéaire (E) : $36x+24y=120$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
   a) Calculer le PGCD de 36 et 24.
   b) Justifier que l'équation (E) admet des solutions.

2. P1.2

   a) Déterminer une solution particulière de (E.)
   b) Résoudre l'équation (E).

3. P2.1

   Partie 2
   Une entreprise de livraison utilise deux types de camions. Des camions de type A pouvant transporter 36 colis chacun et des camions de type B pouvant transporter 24 colis chacun.
   L'entreprise doit expédier exactement 120 colis. Elle souhaite utiliser un certain nombre de camions de chaque type remplis complètement.
   On note $x$ le nombre de camions de type A et $y$ le nombre de camions de type B.
   a) Quelles sont les contraintes sur $x$ et $y$ ?
   b) Traduire le problème par une équation diophantienne linéaire.

4. P2.2

   a) En utilisant les résultats de la partie 1, donner toutes les solutions du problème.
   b) Quel est le nombre minimum de camions à mobiliser pour une livraison ?

5. P2.3

   On admet maintenant la possibilité qu'un camion de type B soit partiellement rempli au cours d'une livraison, mais que le nombre total de colis soit 120.
   a) Si $s$ désigne le nombre de colis contenus dans le camion de type B partiellement rempli, justifier que $s=12$.
   b) Déterminer dans ce cas toutes les solutions qui respectent cette condition.

Exercice 3 · PROBLÈME · 12 points

1. A.1

   Partie A

   On considère la fonction $g_a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $x\mapsto 2a^x-1$ où $a$ est un nombre réel strictement positif.
   Préciser l'ensemble de définition de $g_a$

2. A.2

   On suppose que $0<a<1$.
   a) Calculer les limites de $g_a$ en $-\infty$ et en $+\infty$ puis interpréter graphiquement chaque résultat si possible.
   b) Étudier la limite en $-\infty$ de $\frac{g_a(x)}{x}$ puis interpréter graphiquement le résultat.
   c) Déterminer le sens de variation de $g_a$.
   d) Dresser le tableau de variation de $g_a$.
   e) Résoudre l'équation : $x\in \mathbb{R}$, $g_a(x)=0$.

3. A.3

   On suppose $a>1$.
   a) Calculer la limite de $g_a$ en $-\infty$ et en $+\infty$ puis interpréter graphiquement chaque résultat si possible.
   b) Étudier la limite en $+\infty$ de $\frac{g_a(x)}{x}$ puis interpréter graphiquement le résultat.
   c) Déterminer le sens de variation de $g_a$.

4. B.1

   Partie B

   La dégradation de 3 différents produits dans un site d'enfouissement se traduit par les fonctions $m$, où $m$ représente la masse restante après $x$ années d'enfouissement.
   Sac de plastic : $m_p(x)=2(0,9985{)}^x-1$
   Gomme à mâcher : $m_G(x)=2(0,8706{)}^x-1$
   Pile alcaline : $m_C(x)=2(0,9999{)}^x-1$
   Pour chacun de ces produits, déterminer le temps nécessaire à sa dégradation.

5. B.2

   On admet que le produit qui met plus de temps à disparaître est le plus toxique. Quel est le produit le plus toxique pour l'environnement ?

6. C.1

   Partie C

   On estime que les prestations versées aux assurés sociaux d'un pays sont modélisées par la fonction $f$ définie par : $f(x)=5,2(1,05{)}^x$ où $x$ est le temps en années avec $x=0$ en 2005, la dépense étant mesurée en milliards d'unités monétaires.
   Les cotisations des assurés sociaux sont modélisées par la fonction $g$ définie par $g(x)=2,7(1,12{)}^x$ avec les mêmes unités que la fonction $f$.
   a) Calculer les recettes et les dépenses en 2005 et en 2008.
   b) Le budget social est-il en équilibre en 2005 et en 2008 ?

7. C.2

   a) Dresser les tableaux de variation de $f$ et de $g$ sur l'intervalle $[0;20]$.
   b) L'évolution de $g$ est-elle différente de celle de $f$ ? Justifier.
   c) A quelle date le budget social sera-t-il en équilibre ?

8. C.3

   Résoudre l'inéquation : $x\in [0;20]$, $g(x)>f(x)$ et interpréter le résultat.