Sujet du BAC B 2014 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 5 points

1. 1-2

   1- Donner l'expression $R(x)$ pour tout $x$ élément de $[0;+\infty [$.
   2- Soit B la fonction donnant le bénéfice de l'entreprise.
   Démontrer que : $\forall x\in [0;+\infty [$, $B(x)=-0,08x^3+64,8x^2-8122x$.

2. 3

   a) Étudier les variations de la fonction B sur l'intervalle $[0;+\infty [$.
   b) Quel est le nombre d'objets produits et vendus qui rend maximum le bénéfice de l'entreprise.

3. 4

   Déterminer l'intervalle dans lequel doit se situer le nombre d'objets produits et vendus pour que cette unité de production soit rentable.

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. 1-2

   1- Calculer la probabilité pour qu'un joueur gagne 100 F CFA.
   2- Calculer la probabilité qu'un joueur perde 50 F CFA.

2. 3

   Soit X la variable aléatoire associant à chaque tirage un gain algébrique (une perte est comptée négativement).
   a) Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
   b) Calculer l'espérance mathématique de X.
   c) Calculer la variance et l'écart-type de X.

3. 4

   Les conditions de jeu restent identiques. Indiquer le montant du gain algébrique qu'il faut attribuer au joueur lorsque la boule tirée au deuxième tirage est rouge pour que l'espérance mathématique soit nulle.

Exercice 3 · PROBLÈME · 10 points

1. A

   Partie A
   On considère la fonction g définie sur l'intervalle $]0;+\infty [$ par : $g(x)=2x^3-1+2\ln x$.
   1- a) Calculer les limites de la fonction g aux bornes de son ensemble de définition $D_g$.
   b) Étudier les variations de g sur l'intervalle $]0;+\infty [$.
   c) Dresser son tableau de variation.
   2- a) Démontrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ de l'intervalle $]0;+\infty [$ tel que $g(\alpha )=0$.
   b) Justifier que : $0,86<\alpha <0,87$.

   3- Justifier que :

   $\forall x\in ]0;\alpha [$, $g(x)<0$ ;

   $\forall x\in ]\alpha ;+\infty [$, $g(x)>0$.
2. B.1-2

   Partie B
   On considère la fonction f définie sur $]0;+\infty [$ par : $f(x)=2x-\frac{\ln x}{x^2}$.
   On note (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthogonal (O, I, J), unités graphiques 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.
   1- a) Calculer la limite de f en 0, puis interpréter graphiquement le résultat.
   b) Calculer la limite de f en $+\infty$.
   2- a) Démontrer que la droite $(\Delta )$ d'équation $y=2x$ est asymptote à la courbe (C).
   b) Étudier la position relative de la courbe (C) et la droite $(\Delta )$.
   c) Dresser le tableau de variation de f.

3. B.3-4

   3- On admet que f est dérivable sur $]0;+\infty [$.
   a) Démontrer que $\forall x\in ]0;+\infty [$, $f^{\prime }(x)=\frac{g(x)}{x^3}$.
   b) Étudier les variations de f, puis dresser son tableau de variation.
   c) En utilisant la question 2-a) de la partie A, démontrer que $f(\alpha )=\frac{6{\alpha }^3-1}{2{\alpha }^2}$ puis donner l'arrondi d'ordre 1 de $f(\alpha )$ en prenant $\alpha =0,86$.
   4- Tracer la droite $(\Delta )$ et la courbe (C) dans le repère (O, I, J).