Sujet de mathématiques du BAC 2022, séries A2 et H, avec corrigé

Exercice 1 · 2 points

1. 1. 2. Pour tout nombre réel $x$, le nombre $e^x$ est …

      1. Anul.
      2. Bstrictement négatif.
      3. Cstrictement positif.

   2. 3. Si E et F sont deux évènements incompatibles d'un univers $\Omega$, alors $P(E\cup F)$ est égale à …

      1. A$P(E)-P(F)$.
      2. B$P(E)+P(F)$.
      3. C$P(E)\times P(F)$.

   3. 4. La dérivée de la fonction $x\mapsto a{x}^n$, où $a\ne 0$ et $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ est la fonction …

      1. A$x\mapsto a{x}^{n-1}$.
      2. B$x\mapsto nax$.
      3. C$x\mapsto na{x}^{n-1}$.

   4. 5. La somme $v_0+v_1+\cdots +v_{n-1}$ des $n$ premiers termes d'une suite arithmétique de raison $r$ ($r\ne 0$) est égale à …

      1. A$\frac{n(v_0+v_n)}{2}$
      2. B$\frac{n(v_0+v_{n-1})}{2}$
      3. C$\frac{r(v_0+v_{n-1})}{2}$

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 2 points

1. 1. 1. L'équation (E) : $x\in \mathbb{R}$, $2e^{2x}-3e^x+1=0$ admet pour ensemble de solutions $\{1;3\}$.

   2. 2. La droite d'ajustement d'un nuage de points passe par le point moyen.

   3. 3. Le système d'équations $(x,y)\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }\times {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, $\{\begin{array}{l}\ln (x)+3\ln (y)=9\\ 2\ln (x)-\ln (y)=4\end{array}$ admet pour ensemble de solutions $\{(3;2)\}$.

   4. 4. La dérivée de la fonction $x\mapsto 2x+3+e^x$ sur $\mathbb{R}$ est la fonction : $x\mapsto 2+e^x$.

Exercice 3 · 5 points

1. 1

   Justifie qu'il y a 120 tirages possibles.

2. 2

   Détermine la probabilité de l'évènement A « tirer exactement deux boîtes vertes »

3. 3

   Justifie que la probabilité de l'évènement B « ne tirer aucune boîte verte » est égale à $\frac{7}{24}$.

Exercice 4 · 6 points

1. 1

   a) Justifie que : $\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ <\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty$.
   b) Donne une interprétation graphique du résultat précédent.

2. 2

   Calcule la limite de $f$ en $-\infty$.

3. 3

   On admet que $f$ est dérivable sur $]-\infty ;3[$ et on note $f^{\prime }$ sa fonction dérivée.
   a) Justifie que pour tout $x$ élément de $]-\infty ;3[$, $f^{\prime }(x)=\frac{x(x-6)}{(x-3{)}^2}$.
   b) Étudie le signe de $f^{\prime }(x)$ suivant les valeurs de $x$.
   c) Dresse le tableau de variations de $f$.

Exercice 5 · 5 points

1. Situation

   A l'aide d'une production argumentée basée sur tes connaissances mathématiques, dis si l'élève pourra bénéficier de l'aide de son père pour acheter l'ordinateur ou non.