Sujet de mathématiques du BAC 2000 (session de remplacement), séries A2 et H, avec corrigé

Exercice 1 · 6 points

1. 1

   Calculer le capital de Kassi le 1ᵉʳ janvier 2001.

2. 2

   On note $U_n$ le capital de Kassi le 1ᵉʳ janvier de l'an $2000+n$.
   a) Justifier que $(U_n)$ est une suite géométrique de raison 1,04.
   b) Exprimer $U_n$ en fonction de $n$.

3. 3

   A partir de quelle date Kassi pourra-t-il acheter sa voiture ?

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. 1

   Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $P(x)=0$.

2. 2

   Vérifier que : $P(x)=-x^3+4x^2-x-6$.

3. 3

   Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $-e^{3t}+4e^{2t}-e^t-6=0$.

Exercice 3 · 9 points

1. 1

   On admet que f est dérivable sur $]-1;+\infty [$ et on note f' sa dérivée.
   a) Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout réel x élément de $]-1;+\infty [$.
   b) Dresser le tableau de variation de f.

2. 2

   Donner une équation de la tangente (T) à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse 0.

3. 3

   On considère la fonction g définie sur $]-1;+\infty [$ par : $g(x)=-x+f(x)$.
   On admet que g est dérivable sur $]-1;+\infty [$ et on note g' sa dérivée.
   a) Vérifier que : $\forall x\in ]-1;+\infty [$, $g^{\prime }(x)=-\frac{x}{1+x}$.
   b) Etudier le signe de $g^{\prime }(x)$ puis dresser le tableau de variation de g.
   c) Déduire du tableau de variation de g le signe de $g(x)$ puis la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à (T).
   d) Construire $(\mathcal{C})$ et (T) sur l'intervalle $]-1;9]$.