Sujet du BAC G2 2000 de mathématiques, avec corrigé

Exercice 1 · 4 points

1. 1

   a) calculer $P(3)$, puis écrire P(x) sous la forme d'un produit de facteurs de polynômes du 1er degré
   b) en déduire les solutions de l'équation $P(x)=0$

2. 2

   Etudier le signe de $P(x)$ suivant les valeurs de $x$

3. 3

   Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{3x}-7e^{2x}+2e^x+3\ge 0$

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 8 points

1. A.1-2

   Partie A
   Soit h la fonction de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par $h(x)=\ln \left(\frac{x^2}{1+x^2}\right)$
   1- déterminer l'ensemble de définition D de h
   2- Calculer les limites de h en $+\infty$, en 0 et en $-\infty$

2. A.3

   La fonction h étant dérivable sur D, calculer h'(x) pour tout $x$ élément de D

3. B.1

   Partie B
   Soit f la fonction numérique d'ensemble de définition ${\mathbb{R}}^{\ast }$ telle que : $f(x)=x-1+\ln \left(\frac{x^2}{1+x^2}\right)$
   1- a) calculer la limite de f en 0 et interpréter graphiquement le résultat
   b) calculer les limites de f en $+\infty$ et en $-\infty$

4. B.2-3

   La fonction f étant dérivable sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ vérifier que : $f^{\prime }(x)=\frac{x^3+x+2}{x(1+x^2)}$ pour tout $x$ élément de ${\mathbb{R}}^{\ast }$
   3- Etudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variation de f

5. B.4

   Soit (C) la courbe de f dans un repère orthonormal (O, I, J) tel que OI = 2 cm
   a) Démontrer que la droite (D) d'équation $y=x-1$ est asymptote à la courbe (C)
   b) Etudier les positions relatives de (D) et de (C)

6. B.5-6

   a) Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique sur $]0;+\infty [$ que l'on notera $\alpha$
   b) justifier que $1,4<\alpha <1,5$
   6- Construire la droite (D) et la courbe (C) dans le repère (O, I, J)

Exercice 3 · 4 points

1. 1-2

   Combien y a-t-il d'élèves qui ont répondu :
   a) non à la question n°1 ?
   b) non à la question n°1 et oui à la question n°2 ?
   2- a) Démontrer qu'il y a exactement 14 élèves qui ont répondu oui aux deux questions
   c) Combien d'élèves n'aiment que le football ?
   d) Combien d'élèves n'aiment que la natation ?

2. 3

   Combien peut-on constituer de groupes de 5 élèves
   a) n'aimant que le football ?
   b) n'aimant que la natation ?
   c) aimant la natation et le football ?
   d) dont au moins 2 n'aiment aucun des deux sports ?

Exercice 4 · 4 points

1. 1

   Représenter le nuage de points dans un repère orthogonal

2. 2

   a) Calculer le coefficient de corrélation linéaire r entre les variables X et Y et vérifier qu'un ajustement affine est justifié.
   b) Utiliser la méthode des moindres carrés pour déterminer une équation de la droite d'ajustement de Y en X.

3. 3

   Déterminer le nombre de clients susceptibles d'acheter le poste radio à 30 000 F CFA