Sujet du BAC F2 2016 de physique appliquée, avec corrigé

Exercice 1 · 3 points

ETUDE DE LA TRANSMISSION D'UNE MESURE DE TEMPERATURE
À UNE CENTRALE DE TRAITEMENT NUMERIQUE.

Le système étudié permet de transmettre la valeur de la température d'un local de stockage à une centrale de traitement numérique. Le synoptique du système est représenté ci-dessous.

Les amplificateurs opérationnels utilisés sont considérés parfaits et sont polarisés de façon symétrique : $\pm V_{CC}=\pm 15$ V.
La fonction principale FP7 ne sera pas étudiée dans ce sujet.
Les différentes parties du sujet sont indépendantes.

Etude du capteur de température : FP1

La capture de la température est réalisée par un capteur désigné Pt100, il s'agit d'une sonde de platine. Le capteur Pt100 est alimenté par un courant d'intensité $I_0$ constante et indépendante de la température.

Le relevé expérimental de la tension u en fonction de la température θ est donné à l'ANNEXE 1.

1. 1-1 et 1-2

   1-1. Déterminer l'expression de la tension u, exprimée en Volt (V), en fonction de la température θ, exprimée en degré Celsius.
   1-2. Déterminer la plage de variation de u lorsque la température varie de −10 °C à +50 °C.

2. 1-3

   La sonde de température Pt100 présente une résistance $R_{\theta }$ en fonction de la température telle que : $R_{\theta }=R_0(1+\alpha \theta )$ avec $R_0=100\Omega$ où α est le coefficient de température.

   1-3-1 Déterminer la valeur du courant $I_0$ fourni par le générateur de courant alimentant le capteur Pt100.
   1-3-2 Déterminer le coefficient de température : α (on précisera l'unité de α).

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 4 points

Etude du générateur de courant : FP2

Le schéma de cette partie est représenté ci-dessous (figure 3)

1. 2-1 et 2-2

   2-1 Exprimer $i_2$ en fonction de $i_1$ et $I_0$.
   2-2 Quelle est la valeur des intensités des courants $i^{-}$ et $i^{+}$ ? En déduire la relation entre $i_1$ et $i_1^{\prime }$, puis entre $i_3$ et $i_3^{\prime }$.

2. 2-3 et 2-4

   2-3 L'amplificateur opérationnel AOP1 fonctionne en régime linéaire.

   2-3-1 Que vaut la tension d'entrée différentielle Vd ?
   2-3-2 Ecrire la loi des mailles dans la maille (M, A, B, C et M).
   2-3-3 En déduire l'expression de $i_3$ en fonction de $E_1$, R et $i_1$.

   2-4 Ecrire la loi des mailles dans la maille (B, C, D, F, B). En déduire l'expression de $i_2$ en fonction de $i_1$ et $i_3$.

3. 2-5 et 2-6

   2-5 Montrer que $I_0$ se met sous la forme $I_0=k.E_1$ avec $k=\frac{1}{R}$.
   2-6 On désire obtenir $I_0=1$ mA, déterminer R sachant que $E_1=10$ V.

Exercice 3 · 3 points

Etude de l'amplification : FP3

L'amplification est réalisée par le circuit ci-dessous (figure 4).

L'amplificateur opérationnel AOP2 fonctionne en régime linéaire.

1. 3-1 Donner les équations de fonctionnement d'un amplificateur opérationnel en régime linéaire.
   3-2 Exprimer $u_1$ en fonction de u, $R_1$ et $R_2$.
   3-3 On donne $R_1=1$ kΩ et $R_2=49$ kΩ, déterminer l'amplification du montage $A=\frac{u_1}{u}$.
   3-4 Déterminer $u_1$ dans les deux cas suivants :

   1ᵉʳ cas : u = 96 mV
   2ᵉᵐᵉ cas : u = 120 mV

2. 3-5 et 3-6

   3-5 Déterminer Re, l'impédance d'entrée du montage. Quel est l'intérêt de ce résultat ?
   3-6 Quel est le rôle de la résistance R' ? Quelle valeur doit-on donner à R' ?

Exercice 4 · 2 points

Etude du décalage de tension : FP4

Le circuit réalisant cette fonction est représenté à la figure 5.

1. 4-1 et 4-2

   4-1 L'amplificateur opérationnel AOP 3 fonctionne en régime linéaire. Exprimer $u_2$ en fonction de $V_{CC}$, $u_1$, $R_3$, $R_4$ et $R_5$.
   4-2 Sachant que $R_5=1,2$ kΩ et que $V_{CC}=15$ V, déterminer les valeurs de $R_3$ et $R_4$ pour que la relation entre les tensions $u_2$ et $u_1$ exprimée en Volt soit : $u_2=-u_1+4,6$.
   Ces valeurs sont adoptées pour la suite du problème.

Exercice 5 · 4 points

Etude du filtrage : FP5

Le filtre étudié est représenté ci-dessous (figure 6)

Pour l'étude en fréquence du filtre, on utilise les notations complexes. L'amplificateur opérationnel fonctionne en régime linéaire.

1. 5-1 Exprimer la fonction de transfert $\underline{T}=\frac{{\underline{U}}_3}{{\underline{U}}_2}$ en fonction de $R_6$, $R_7$, $C_1$ et ω.
   avec ω = 2πf.
   5-2 $\underline{T}=\frac{{\underline{U}}_3}{{\underline{U}}_2}$ se met sous la forme $\underline{T}=\frac{T_0}{1+j\frac{f}{f_c}}$, exprimer $T_0$ et $f_c$.
   5-3 Déterminer le type de filtre.

   1. 5-1. $\underline{T}=$

   2. 5-2. $T_0$ et $f_c$ :

   3. 5-3. Le filtre est…

2. 5-4 et 5-5

   5-4 On donne $R_6=1$ kΩ, $R_7=10$ kΩ et $C_1=47$ µF. Déterminer $f_c$, la fréquence de coupure à −3 dB et $T_{Max}$ la valeur maximale du module de $\underline{T}$.
   5-5 La tension d'entrée du filtre peut-être perturbée par des tensions parasites variables de fréquence $f_p$ supérieures à $f_c$. On considère le cas où la tension d'entrée du filtre est de la forme : $V_0+V_1\sin (2\pi f_{p}t)$ avec $V_0=-0,2$ V ; $V_1=0,1$ V et $f_p=50$ Hz.

   5-5-1 Pour $u_2(t)=V_0$, calculer $u_3(t)$ la tension correspondante.
   5-5-2 Pour $u_2(t)=V_1\sin (2\pi f_{p}t)$, calculer l'amplitude de la tension $u_3(t)$ correspondante.
   5-5-3 Pour $u_2(t)=V_0+V_1\sin (2\pi f_{p}t)$, que vaut $u_3(t)$ ?

Exercice 6 · 4 points

Etude de la conversion tension-fréquence : FP6

Cette fonction est réalisée par le schéma de la figure 7. Elle est constituée de quatre sous fonctions :
- Un amplificateur inverseur générant une tension égale à $-u_3=-U_3$
- Un interrupteur commandé par la tension $u_6$,
- Un intégrateur,
- Un comparateur.
La tension $u_3=U_3$ est une tension continue positive.

Les feuilles réponse n° 1 et n° 2 du sujet (chronogrammes du comparateur et de $u_6$) ne sont pas disponibles : les questions 6-2, 6-3-1, 6-3-2-3, 6-3-3-3 et 6-3-5-2, qui en dépendent, ne sont pas posées.

1. 6-1

   6-1 Etude de l'intégrateur
   L'amplificateur opérationnel fonctionne en régime linéaire.

   6-1-1 Déterminer l'expression du courant i dans le condensateur $C_2$ en fonction de $u_4$ et $R_8$.
   6-1-2 Ecrire la relation entre i, $C_2$ et la dérivée de uc(t) par rapport au temps.
   6-1-3 Quelle est la relation entre $u_5$ et uc(t) ? En déduire l'équation différentielle reliant $u_4(t)$ et $u_5(t)$.
   6-1-4 Montrer que si la tension $u_4$ est constante ($u_4=U_4$), la tension $u_5$ varie selon une loi de la forme $u_5=a.t+b$. Exprimer le coefficient a en fonction de $U_4$, $R_8$ et $C_2$.
   6-1-5 En fait, $u_4(t)$ prend alternativement les valeurs $u_4=-u_3=-U_3$ et $u_4=u_3=U_3$. Indiquer les phases où $u_5(t)$ croît et celles où $u_5(t)$ décroît.
   6-1-6 Pendant une phase de croissance de $u_5(t)$, cette tension passe de la valeur $U_N$ à la valeur $U_P$ (avec, nécessairement $U_P>U_N$) pendant la durée $t_1$. Exprimer $t_1$ en fonction de $U_P$, $U_N$, $U_3$, $C_2$ et $R_8$.
   6-1-7 Lors de la phase de décroissance, $u_5(t)$ passe de la valeur $U_P$ à la valeur $U_N$. Exprimer la durée $t_2$ de cette phase et la comparer à $t_1$.

2. 6-3

   6-3 Etude du convertisseur tension-fréquence
   L'interrupteur commandé fonctionne de la façon suivante :
   Lorsque $u_6=+V_{sat}$, l'interrupteur est en position 2.
   Lorsque $u_6=-V_{sat}$, l'interrupteur est en position 1.

   6-3-2 Fonctionnement dans l'intervalle $[0,t_1]$. Dans cet intervalle $u_6=+V_{sat}$.

   Le système bascule à t = 0 ; $u_5(0^{+})=U_N$.
   6-3-2-1 Décrire (sans calculs) l'évolution de $u_5(t)$.
   6-3-2-2 Quelle doit être la valeur de $u_5(t_1)$ pour que le système bascule de nouveau à $t=t_1$ ?

   6-3-3 Fonctionnement dans l'intervalle $[t_1,t_1+t_2]$. Dans cet intervalle $u_6=-V_{sat}$.

   6-3-3-1 Décrire (sans calculs) l'évolution de $u_5(t)$, en utilisant la valeur de $u_4$ dans cet intervalle.
   6-3-3-2 Quelle doit être la valeur de $u_5(t_1+t_2)$ pour que le système bascule de nouveau à $t=t_1+t_2$ ?

   6-3-4 Calcul de la période :

   6-3-4-1 Exprimer la période T de la tension $u_6$ en fonction de $U_P$, $U_N$, $U_3$, $C_2$ et $R_8$.
   6-3-4-2 Montrer que la fréquence f de $u_6$ se met sous la forme $f=k.U_3$.

   6-3-5 On donne $C_2=2,2$ nF ; on veut que f = 100 kHz pour $U_3=2$ V.

   6-3-5-1 Calculer la valeur du coefficient k. Donner son unité.