Sujet de mathématiques du BAC 2015, séries F1, F2, F3 et F4, avec corrigé

Exercice 1 · 4 points

1. 1

   a) Calculer $P(-2)$.
   b) Déterminer une factorisation de $P(x)$ en produit de polynômes de degré 1.

2. 2

   justifier que : $P(x)\ge 0⟺x\in ]-\infty ,-2]\cup \left[\frac{1}{3},1\right]$

3. 3

   En déduire la résolution des inéquations suivantes :
   $(I_1)$ : $x\in \mathbb{R}$, $-3{\ln }^{3}x-2{\ln }^{2}x+7\ln x-2\ge 0$
   $(I_2)$ : $x\in \mathbb{R}$, $-3e^{2x}-2e^x-2e^{-x}+7\ge 0$

Le corrigé de cet exercice est offert, à la fin de l’énoncé

Exercice 2 · 5 points

1. 1

   Soit $f$ la fonction définie sur $[0;1]$ par :
   $f(x)=\ln \left(x+\sqrt{x^2+2}\right)$.
   a) Déterminer la dérivée sur $\mathbb{R}$ de la fonction $x⟼\sqrt{x^2+2}$.
   b) En déduire que pour tout $x$ élément de $[0;1]$, $f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+2}}$.
   c) Calculer la valeur de I.

2. 2

   a) Sans calculer explicitement J et K, vérifier que $J+2I=K$.
   b) A l'aide d'une intégration par parties portant sur l'intégrale K, démontrer que $K=\sqrt{3}-J$.
   c) En déduire les valeurs de J et de K

Exercice 3 · PROBLÈME · 11 points

1. A.1

   Partie A
   Soit $\phi$, la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\phi (x)=e^x+x+1$.
   Étudier le sens de variation de $\phi$ et ses limites en $+\infty$ et en $-\infty$.

2. A.2

   Démontrer que l'équation $\phi (x)=0$ a une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$ et que l'on a :
   $-1,28<\alpha <-1,27$.

3. A.3

   En déduire le signe de $\phi (x)$ sur $\mathbb{R}$.

4. B.1

   Partie B
   Soit $f$, la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{x{e}^x}{e^x+1}$ et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal $(O,\vec{i},\vec{j})$ (unité graphique: 4 cm)
   Démontrer que $f^{\prime }(x)=\frac{e^x\phi (x)}{(e^x+1{)}^2}$
   En déduire les variations de $f$ et dresser son tableau de variation.

5. B.2

   Démontrer que $f(\alpha )=\alpha +1$ et en déduire un encadrement de $f(\alpha )$.

6. B.3

   Soit (T) la tangente à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse 0.
   Donner une équation de (T) et étudier la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à (T).

7. B.4

   Calculer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
   Démontrer que la droite (D) d'équation $y=x$ est asymptote à $(\mathcal{C})$
   et étudier la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à (D).

8. B.5

   Tracer dans le même repère sur l'intervalle $[-2;4]$, les droites (T), (D) puis la courbe $(\mathcal{C})$.